Théorème de Ceva


  • F

    Bonjour,
    j'ai un devoir à la maison qui porte sur le
    théorème ce céva. J'ai déjà essayé de chercher, mais impossible de trouver.

    Voici mon énoncé:

    A,B et C sont trois points non alignés. a,b et c sont trois réels différents de 1.
    Les points P,Q et R sont définis par : (vecteur)PB=aPC(vecteur),(vecteur)QC=bQA(vecteur) et (vecteur)RA=cRB(vecteur
    On veut démonter que les droites (PA),(BQ) et (CR) sont concourantes ou parallèles si, et ssi, abc=-1.
    On se place dans le repère (A;B,C)
    1)a)Donner les coordonnées des points A,B,C,P,Q et R.
    b)En déduire que la droite (PA) a pour équation ax+y=0, que la droite (BQ) a pour équation x+(1-b)y-1=0 et que la droite (CR) a pour équation (c-1)x+cy-c=0
    2) Démontrer que si (PA),(BQ) et (CR) sont deux à deux parallèles, alors abc=-1
    3)Démontrer que s'il existe un point I(x0;y0)appartenant aux trois droites (PA),(BQ) et (CR), alors abc=-1
    4)Réciproquement, on suppose que abc=-1
    a)Si les droites (AP),(BQ) et (CR) ne sont pas deux à deux parallèles, il y a au moins deux des trois droites sécantes, par exemple (AP) et (BQ). Démontrer que (CR) est alors sécante avec (AP) et (BQ) en un même point.
    b) conclure.

    Mes résultats: (je ne suis pas sur que cela soit correct)

    1./ a) A(0;0) B(1;0) C(0;1) P(1/1-a;a/b-1) Q(0;-1/b-1) R(c/c-1;0)

    b./ (PA) : -ax+y
    (BQ) : x+(1-b)y-1=0
    (CR) : je n'ai pas trouvé

    2./ Je trouvé pour cette réponse

    3./

    4./

    Le restant, je ne comprends pas , pourtant j'aimerai bien

    Merci d'avance pour l'aide que vous pourrez me donner


  • N
    Modérateurs

    Bonsoir flower15,

    Comment démontre t-on que deux droites sont parallèles ?


  • F

    Bonsoir,
    avec la colinéarité des vecteurs ?


  • N
    Modérateurs

    Ou le même coefficient directeur.


  • M

    Bonjour, j'ai le même exercice et je n'arrive pas à calculer les coordonnées de P , Q et R. Pourriez-vous m'aider s'il vous plait.


  • N
    Modérateurs

    Bonjour Marie15

    vect PB (1-xP ; 0-yP)
    vect PC (0-xP ; 1-yP)
    Or
    vect PB = a vect PC
    soit 1-xP = a(0-xp)
    et
    0-yP = a(1-yP)

    si tu isoles xP et yP
    xP = ....


  • M

    xP : 1-x = -ax
    1-x+ax=0
    1=x-ax
    1=(1-a)x
    x= 1 / (1-a)

    Voilà et pareil pour yP
    Merci Noemi 🙂


  • N
    Modérateurs

    Oui,

    Quel résultat trouves tu pour yP ?


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