Etude de vecteurs

Bonsoir, je bloque sur un problème qui paraît simple :

Données : Soient A, B, C trois points non alignés. On considère M, N, P tels que :

$am⃗=12(7ab⃗+3bc⃗)\vec {am} = \frac{1}{2}(7\vec {ab}+3\vec {bc})$

$cn⃗=4ab⃗+ac⃗−cb⃗\vec {cn} = 4\vec {ab} + \vec {ac} - \vec {cb}$

$ap⃗=3bc⃗−132ac⃗\vec {ap} = 3\vec {bc} - \frac{13}{2}\vec {ac}$

On se place dans la base : $(ab⃗;ac⃗)(\vec {ab};\vec {ac})$

Questions posées :

Montrer que $bm⃗=ab⃗+32ac⃗\vec {bm}=\vec {ab}+\frac{3}{2}\vec {ac}$ .
a) Exprimer $bn⃗\vec {bn}$ en fonction de $ab⃗\vec {ab}$ et $ac⃗\vec {ac}$ .

b)Que peut-on dire des points B, M, N ?

Démontrer que les droites (CP) et (BM) sont parallèles.

Je bloque sur le 1) et le 3) :

Pour le 1) je crois qu'il faut faire essayer de faire une équation du type : $-\vec {bm}+\vec {ab}+\frac{3}{2}\vec {ac}$
Mais je n'arrive pas a décomposer [text]\vec {BM}[/text] afin de le simplifier...

Et au niveau du 3) je ne sais pas du tout quoi faire...

Bonjour,

Piste pour démarrer ,

Avec la relation de Chasles , Tu peux expliciter $am⃗\vec{am}$ en fonctions des deux vecteurs de la base.

$am⃗=72ab⃗+32bc⃗\vec{am}=\frac{7}{2}\vec{ab}+\frac{3}{2}\vec{bc}$

$am⃗=72ab⃗+32(ba⃗+ac⃗)\vec{am}=\frac{7}{2}\vec{ab}+\frac{3}{2}(\vec{ba}+\vec{ac})$

$am⃗=72ab⃗−32ab⃗+32ac⃗\vec{am}=\frac{7}{2}\vec{ab}-\frac{3}{2}\vec{ab}+\frac{3}{2}\vec{ac}$

D'où :

$\fbox{\vec{am}=2\vec{ab}+\frac{3}{2}\vec{ac}}$

Ensuite , en écrivant $bm⃗=ba⃗+am⃗\vec{bm}=\vec{ba}+\vec{am}$ , tu dois arriver à la réponse souhaitée.

Merci beaucoup j'ai trouvé, et pour le 3) il faut bien dire que les vecteurs CP et BM sont colinéaires pour démontrer que les droites (CP) et (BM) sont parallèles ?

Tout à fait.

Si tu as prouvé que B, M, N sont alignés , tu peux aussi prendre les vecteurs $cp⃗\vec{cp}$ et $bn⃗\vec{bn}$