Longueur minimale en fonction de x

Bonjour !
Je suis donc en 1èreS et j'ai un dm de maths a faire pendant ces vacances. J'ai deux exercices, le premier ou je bloque et le second je me débrouille. Alors voilà l'énoncé du premier:

ABC est un triangle rectangle en A tel que AB=4 et AC=3. Le point M décrit le segment [BC] et on note x la longueur BM.
f est la longueur qui a x associe la longueur AM. (il y a la figure avec AM étant f(x) et MB étant x )

a)Déterminer la position du point M pour laquelle la longueur AM est minimale.
b)Dresser le tableau de variation de la fonction f.

Ce que j'en tire pour le a):
Après avoir fait la figure j'ai calculé la longueur de BC avec pythagore, ce qui donne BC=5cm. J'en deduis que 0≤x≤5

C'est là que ça bloque, je pense qu'il faut trouver la fonction f(x), pour avoir une fonction du second degré (nous travaillons sur ça en cours) puis chercher son sommet de coordonné alpha;bêta. Mais je n'arrive pas a trouver cette fonction..
Pour le b je sais comment faire une fois la fonction trouvée mais comme je ne la trouve pas.. :frowning2:

Merci d'avance pour votre aide, j'en ai besoin !

Bonjour margot2609,

As tu fait une figure ?

trace la hauteur MH issue du point M du triangle MAB et en utilisant les propriétés de Thalès et pythagore exprime MA en fonction de x.

Oui j'ai fait la figure.
Je comprend ce raisonnement mais je ne vois pas comment démontrer ou est placé le point M sur [BC] , comme la longueur MB est variable.
et j''ai trouvé MH= 3x/5

Calcule HA en fonction de x.

Noemi
Calcule HA en fonction de x.

j'utilise pythagore car MHB est un triangle rectangle
Peut être que j'ai faux, mais j'arrive à une expression complexe que je ne peux pas simplifiée:

AH= AB-HB
avec HB²= HM²+MB²
=√(3x/5)²+x²

AH= 4- √((3x/5)²+x²)

Pour le calcul de BH, utilise la propriété de Thalès.

Ah oui merci! je n'ai pas du tout pensé à ça..
Du coup ça donne BH= 4x/5
Ensuite pour AH:

AH= 4-4x/5
=20/5 - 4x/5
=(20-4x)/5

Donc on exprime AM en fonction de x ce qui donne (avec pythagore):

AM²= MH²+HA²
AM²= (3x/5)² + ((20-4x)/5)²
Ensuite je suis bloquée..

Développe est ordonne les termes, ensuite tu peux déterminer le minimum.

Ah oui ! je comprends
AM²= (3x/5)²+((20-4x)/5²
AM²= 6x²/25 + (16x²-160x+400)/25
AM²= 22x²-160x+400/25

Donc AM= √(22x²-160x+400/25)
C'est ça ??

Attention 3² = 9

AM²= (3x/5)²+((20-4x)/5²
AM²= 9x²/25 + (16x²-160x+400)/25
AM²= (25x²-160x+400)/25

Donc AM= √(25x²-160x+400)/5

Effectivement, erreur d'inattention ^^

Merci beaucoup de m'avoir aidé, maintenant je comprends !
Maintenant il me suffit de calculer le sommet S de la fonction de second degré 25x²-160x+400 et j'ai la longeur minimum de AM, si j'ai bien compris.

Oui c'est cela.

Merci !

Je ne sais pas si c'est juste mais je tombe sur des nombres décimaux, avec un extremum de coordonnées: (3.2;51.84) ça me semble bizzard ou je ne sais pas interpréter mon résultat.

J'ai fait le tableau de variations, ou la fonction est décroissante sur ]-∞;3.2] et croissante sur [3.2;+∞[ .

Attention,

la fonction f est une racine carrée.
vérifie les calculs.

Noemi
Attention,

la fonction f est une racine carrée.
vérifie les calculs.

Donc strictement croissante sur[0;+∞[. Je ne vois pas ou vous voulez en venir. :S

Quand je trace sa courbe représentative sur la calculatrice (casio35+) sa représentation est une parabole avec un extremum de (3.2;2.4)
Donc elle est bien décroissante avant x=3.2

La fonction est :
AM= √(22x²-160x+400)/5

Oui..A ce moment la, il faut se servir des opérations sur les fontions non?

Si c'est une fonction racine carrée elle est croissante sur [0;+∞[, ok.
Pour tous nombres réels a≥0 et b≥0 tels que a<b, a−b<0 et a√+b√>0 donc, pour tous a≥0 et b≥0 tels que a<b, f(a)−f(b)<0 soit f(a)

Je sais vraiment plus là je suis perdue j'arrive pas a avancer..

Pour la position du point M, tu peux utiliser AM²
Donc min ...

Pour la fonction tu peux utiliser les variations de AM²

Vérifie le calcul pour l'extremum.

Soit AM²=25x²-160x+400/25
j'ai un doute mais du coup peut on écrire:

f(x)=√x²-(32/5)x+16 ?

il faut vérifier que x²-(32/5)x+16 n'est jamais négatif pour tou x dans [0;5] et comme la fonction f(x) est croissante, elle a la même variation que la fonction x²-(32/5)x+16 !
Comme je connais les pôlynomes du second degré je peux étudier cette fonction

alpha= -b/2a = (32/5)/2 = 3.2
bêta= f(3.2)
=3.2²-(32/5)x3.2+16
Ce qui donne un minimum de coordonées (3.2;5.76)

C'est une bonne piste ?

le début est juste.
Une erreur sur l'ordonnée pour 3,2,

il ne faut pas oublier la racine carrée
(3,2 ; 2,4)

Ah oui, donc f(x) admet un minimum qui vaut 2.4 cm et est atteint lorseque x=3.2 cm. Merci beaucoup !

Et pour les variations de f(x):
f(x) est décroissante sur [0;3.2] et croissante sur [3.2;5]

C'est correct.

Merci de m'avoir aidé, je n'y serai pas arrivé sans vous ! Au revoir

Bonne nuit