Calcul Somme de, Sigma


  • W

    Activité d'introduction au calcul intégral. Ts

    Dans l'énoncé on a: ak=12n3[k2+(k+1)2]ak=\frac{1}{2n^{3}}\left[k^{2}+(k+1)^{2} \right]ak=2n31[k2+(k+1)2] et Sn somme des Ak donc sn=a0+a1+...+an−1s_{n}=a_{0}+a_{1}+...+a_{n-1}sn=a0+a1+...+an1= ∑k=0n−1ak\sum_{k=0}^{n-1}{ak}k=0n1ak

    La question est:
    Démontrer que: sn=12n+1n3(12+22+...+(n−1)2)s_{n}=\frac{1}{2n}+\frac{1}{n^{3}}\left(1^{2}+2^{2}+...+(n-1)^{2} \right)sn=2n1+n31(12+22+...+(n1)2)
    =12n+1n3\frac{1}{2n}+\frac{1}{n^{3}}2n1+n31 ∑k=1n−1k2\sum_{k=1}^{n-1}{k^{2}}k=1n1k2.

    Pourriez-vous m'aider SVP. Merci d'avance.


  • N
    Modérateurs

    Bonjour W^2,

    As tu écrit A0, A1, A2 ?


  • W

    Je ne suis pas sur d'avoir compris ta question. Veux-tu dire "remplacé A0, A1,A2... par 12n3[k2+(k+1)2]\frac{1}{2n^{3}}\left[k^{2}+(k+1)^{2} \right]2n31[k2+(k+1)2] ?
    Si oui, j'ai fais l'essaie sur des pages de brouillon. Je n'y arrivais pas, mais j'ai enfin trouvé mon erreur!
    Sn=12n3×(02+12)+12n3(12+22)+12n3(22+32)+...+12n3((n−1)2+n2)\frac{1}{2n^{3}}\times(0^{2}+1^2)+\frac{1}{2n^{3}}(1^{2}+2^{2})+\frac{1}{2n^{3}}(2^{2}+3^{2})+...+\frac{1}{2n^{3}}((n-1)^{2}+n^{2})2n31×(02+12)+2n31(12+22)+2n31(22+32)+...+2n31((n1)2+n2)
    ⇔Sn=2×12n3(12+22+32+...+(n−1)2+n2)2\times\frac{1}{2n^{3}}(1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+(n-1)^{2}+n^{2})2×2n31(12+22+32+...+(n1)2+n2)
    Ci-dessus, je multiplie par deux au début, car je remarque que 1^{2}, 2^{2}... sont multipliés par 22n3\frac{2}{2n^{3}}2n32 à deux reprises Mon erreur était de multiplier deux fois la dernière valeur (n^2), qui elle, en réalité n'est multiplié par 22n3\frac{2}{2n^{3}}2n32 qu'une seul fois . J'arrive donc maintenant au bon résultat.
    ⇔Sn=22n3(12+22+...+(n−1)2)+(12n3×n2)\frac{2}{2n^{3}}(1^{2}+2^{2}+...+(n-1)^{2})+(\frac{1}{2n^{3}}\times n^{2})2n32(12+22+...+(n1)2)+(2n31×n2)
    ⇔Sn=1n3(12+22+...+(n−1)2)+(12n)\frac{1}{n^{3}}(1^{2}+2^{2}+...+(n-1)^{2})+(\frac{1}{2n})n31(12+22+...+(n1)2)+(2n1)

    Merci pour l'aide qui m'a mis sur la bonne voie.


  • N
    Modérateurs

    C'est juste.


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