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Modéré par: Thierry, Noemi, mtschoon
Fin 

Arithmétique dans Z

- classé dans : Arithmétique

Envoyé: 22.09.2013, 11:02

Constellation


enregistré depuis: août. 2012
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dernière visite: 02.09.15
Bonjour,

Un petit exercice qui me donne du mal.

Dans \mathbb{Z}, démontrer que : 510\,|\,x^{17}-x
____________________________________

Même si je remarque que :

510=2\times 3\times 5\times 17,
510=512-2=2^9-2=2\times(2^8-1),
x^{17}-x=x\times(x^{16}-1)=x(x^4-1)(x^4+1)=x(x^2-1)(x^2+1)(x^4+1).

Impossible d'aller plus loin...
Merci et @+ icon_smile



FairMaths
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Envoyé: 22.09.2013, 11:11

Modératrice


enregistré depuis: janv.. 2009
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dernière visite: 14.05.17
Bonjour FairMaths

Le début est juste.

Que te reste t-il à démontrer ?
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Envoyé: 22.09.2013, 11:47

Constellation


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dernière visite: 02.09.15
Merci pour ta réponse rapide !
La question c'est bien de démontrer que :
\forall x\in\mathbb{Z}\ :\ \ 510\,|\,x^{17}-x
En fait, je cherche une expression comme : 510\times(....) avec 510 en facteur.
Mais, je suis coincé pour poursuivre...
Une piste SVP ?
@+ icon_smile


FairMaths
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Envoyé: 22.09.2013, 13:22

Modératrice


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dernière visite: 14.05.17
Il te reste à considérer le cas ou x est pair ou x est impair
tu remplaces x par 2n puis
x par 2n+1
tu fais ensuite apparaitre le facteur 510.
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Envoyé: 22.09.2013, 13:24

Cosmos
Zorro

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dernière visite: 10.01.16
Bonjour,

Je déplace en Ter S, en France l'arithmétique n 'est pas au programme de Ter ES..
Pourrais tu poster tes sujets dans le bon forum afin de nous permettre d'adapter notre réponse à ton niveau...

modifié par : Zorro, 22 Sep 2013 - 13:27
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Envoyé: 22.09.2013, 16:16

Constellation


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dernière visite: 02.09.15
Noemi, je n'ose pas effectuer un développement aussi long sans avoir une piste pour raccourcir les calculs, si c'est la seule voie possible ?

Merci et @+

modifié par : FairMaths, 22 Sep 2013 - 16:17


FairMaths
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Envoyé: 22.09.2013, 17:29

Modératrice


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Attention la factorisation est fausse
x4×x4 = x8
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Envoyé: 22.09.2013, 17:48

Constellation


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Merci pour ta réponse, en effet :

x(x^{16}-1)=x (x-1) (x+1) (x^2+1) (x^4+1) (x^8+1)

Mais pour de la suite...
Merci et @+


FairMaths
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Envoyé: 22.09.2013, 23:48

Modératrice


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Bonsoir tout le monde !

Peut-être une suggestion pour la suite , mais il faut affiner tout cela ( ce n'est qu'une piste ) :

Idée : Prouver que 2 , 3 , 5 , 17 divisent x17-x

Pour cela :

(x-1) , x et (x+1) étant trois entiers consécutifs :

\text{2|x(x-1)(x+1) et 3|x(x-1)(x+1) donc ...

Avec le petit théorème de Fermat :

\text{5 |(x^4-1) donc...

\text{17|(x^{16}-1) donc ...

modifié par : mtschoon, 22 Sep 2013 - 23:49
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Envoyé: 23.09.2013, 04:50

Constellation


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Ok, merci icon_smile


FairMaths
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Envoyé: 24.09.2013, 23:23

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De rien .

J'espère que tu as mis tout cela en forme !
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Envoyé: 25.09.2013, 00:26

Constellation


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mtschoon
De rien.
J'espère que tu as mis tout cela en forme !

Le petit théorème de Fermat nous dit que : n^{k-1}-1\equiv 0 [k]
Ce qui signifie ceci : k\,|\,n^{k-1}-1
Citation
Avec le petit théorème de Fermat :

\text{5 |(x^4-1) donc...

5 |(x^4-1) donc \ 5 |(x^{17}-1)
Citation
\text{17|(x^{16}-1) donc ...

17|(x^{16}-1) donc \ 17|(x^{17}-1)
Finalement 2, 3, 5, 17 divise x^{17}-x donc 510 aussi !?

@+ icon_smile



FairMaths
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Envoyé: 25.09.2013, 10:02

Modératrice


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Messages: 9014

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dernière visite: 27.05.17
Tu as dû faire des fautes de frappe car il s'agit de x17-x et non de x17-1

N'oublie pas de préciser , pour le petit théorème de Fermat , que k doit être premier .

S'il s'agit d'une devoir à rendre , je suppose que tu as explicité les factorisations judicieusement à chaque fois.

(x^{17}-x)=(x^4-1)(x)(x^4+1)(x^8+1)

5|(x^4-1) donc ...

x^{17}-x=(x^{16}-1)(x)

17|(x^{16}-1) donc ...



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Envoyé: 25.09.2013, 10:54

Constellation


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dernière visite: 02.09.15
mtschoon
Tu as dû faire des fautes de frappe car il s'agit de x17-x et non de x17-1

N'oublie pas de préciser , pour le petit théorème de Fermat , que k doit être premier .

Oui, k premier est très important !

Citation
S'il s'agit d'un devoir à rendre , je suppose que tu as explicité les factorisations judicieusement à chaque fois.

(x^{17}-x)=(x^4-1)(x)(x^4+1)(x^8+1)

5|(x^4-1) donc ...

x^{17}-x=(x^{16}-1)(x)

17|(x^{16}-1) donc...

Merci beaucoup pour l'aide, j'ai du mal avec la logique de l’arithmétique (surtout) !


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