[Problème] Suites & arithmétique

Bonjour,

Voici un problème sur le thème des suites associé à l’arithmétique.
Je pense avoir compris/écris l'essentiel, même si certaines démonstrations sont a peaufiner.
J'ai agrémenté la lecture un peu longue avec LaTex, Merci

Déterminer le PGCD de $4^2 - 1$ et de $4^6 - 1$
Soit $u_n)$ la suite définie par :
$∀n∈nun+2=5un+1−4un\quad\forall n\in\mathbb{n}\quad u_{n+2}=5u_{n+1}-4u_n$ avec $u_0=0$ , $u_1=1$

a. Calculer $u_2$ , $u_3$ et $u_4$ ,
b. Démontrer que, $∀n∈n\forall n\in\mathbb{n}$ : $u_{n+1}=4u_n+1$ ,
c. Démontrer que, $∀n∈n\forall n\in\mathbb{n}$ , $u_n$ est un entier naturel,
d. En déduire, $∀n∈n\forall n\in\mathbb{n}$ , le PGCD de $u_n$ et de $u_{n+1}$ .

Soit $v_n)$ la suite définie par : $∀n∈n,vn=un+13\forall n\in\mathbb{n},\quad v_n = u_n+\dfrac{1}{3}$

a. Démontrer que $v_n)$ est une suite géométrique,
b. $∀n∈n\forall n\in\mathbb{n}$ , exprimer $v_n$ , puis $u_n$ , en fonction de $n$ ,
c. Déterminer, $∀n∈n\forall n\in\mathbb{n}$ , le PGCD de $4^n- 1$ et de $4^{n+1}-1$ .

Rappels utiles : $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ et $a∣b⟷pgcd(a,b)=aa|b\quad\longleftrightarrow\quad pgcd(a,b)=a$ .
Compte tenu des rappels, on peux répondre à la question : $46−1)=42−14^6-1=(4^2)^3-1=(4^2-1)[(4^2)^2+1\times 4^2+1]\quad\longleftrightarrow\quad pgcd(4^2 - 1,\ 4^6 - 1)=4^2 - 1$ .
a. Les premiers termes de $u_n)$ sont :
$u_0=0,\ u_1=1,\ u_2=5,\ u_3=21,\ u_4=85$ .
$\quad$ b. Démonstration par récurrence :
Initialisation Ok, car $u1=4×u0+1=4×0+1=1u_1=4\times u_0+1=4\times 0+1=1$ ,
Récurrence : on suppose $un+1=4un+1⟷un+1−1=4unu_{n+1}=4u_n+1\quad\longleftrightarrow\quad u_{n+1}-1=4u_{n}$ vrai.
Donc par substitution : $u_{n+2}=5u_{n+1}-(u_{n+1}-1)=4u_{n+1}+1$
Conclusion : la preuve est faite, car $u_{n+2}=4u_{n+1}+1$ est le rang $n + 1$ de $u_{n+1}=4u_n+1$ .
$\quad$ c. On sait que $u_0=0$ est un entier naturel et je suppose que $u_n=4u_{n-1}+1$ aussi, alors $4×un4\times u_n$ est un entier, de même que $u_{n+1}=4u_{n}+1$ CQFD ?
$\quad$ d. Maintenant que l'on sait qu'il existe des entiers $u_{n+1}$ et $u_n$ , grâce au théorème de BEZOUT, on peut affirmer que le $pgcd(u_{n+1},u_n)=1$ , puisque $u_{n+1}-4u_{n}=1$ et les coefficients $1$ et $- 4$ sont premiers entre eux. CQFD ?
aConcernant la relation entre les suites $(vn)(u_n)\text{ et }(v_n)$ nous avons :
$(vn=un+13etvn+1=un+1+13)⟷(un=vn−13etun+1=vn+1−13)\left(v_n=u_n+\dfrac{1}{3}\quad\text{et}\quad v_{n+1}=u_{n+1}+\dfrac{1}{3}\right)\quad\longleftrightarrow\quad\left(u_n=v_n-\dfrac{1}{3}\quad\text{et}\quad u_{n+1}=v_{n+1}-\dfrac{1}{3}\right)$
Comme $u_{n+1}=4u_n+1$ il s'en suit que :
$vn+1−13=4×(vn−13)+1⟷vn+1=4vn−43+1+13=4vnv_{n+1}-\dfrac{1}{3}=4\times(v_n-\dfrac{1}{3})+1\quad\longleftrightarrow\quad v_{n+1}=4v_n-\dfrac{4}{3}+1+\dfrac{1}{3}=4v_n$ .
C'est bien une suite géométrique et sa raison $q = 4$ .
$\quad$ b. On en déduit que : $vn+1=4×vnv_{n+1}=4\times v_n$ et $v0=u0+13=13v_0=u_0+\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}$ .
Maintenant, il est possible d'exprimer $v_n$ en fonction de $n$ : $vn=v0×4n=13×4nv_n=v_0\times 4^n=\dfrac{1}{3}\times 4^n$ .
Compte tenu de la relation : $un=vn−13u_n=v_n-\dfrac{1}{3}$ , on exprime ainsi $u_n$ en fonction de $n$ :
$un=13×4n−13=13×(4n−1)u_n=\dfrac{1}{3}\times 4^n-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}\times\left(4^n-1\right)$ .
$\quad$ c. Un petit rappel : $pgcd(ka,kb)=k×pgcd(a,b)pgcd(ka,kb)=k\times pgcd(a,b)$ ,
$un=13×(4n−1)↔3un=4n−1u_n=\dfrac{1}{3}\times\left(4^n-1\right)\leftrightarrow 3u_n=4^n-1$
$un+1=13×(4n+1−1)↔3un+1=4n+1−1u_{n+1}=\dfrac{1}{3}\times\left(4^{n+1}-1\right)\leftrightarrow 3u_{n+1}=4^{n+1}-1$
Donc on a : $pgcd(4^n-1,\ 4^{n+1}-1)=pgcd(3u_n,\3u_{n+1})$
$4n+1−1)=3×pgcd(un,un+1)=3×1=3pgcd(4^n-1,\ 4^{n+1}-1)=3\times pgcd(u_n,u_{n+1})=3\times 1=3$ .

J'espère avoir utilisé les équivalences à bon escient ?
Encore Merci,

@+

SVP, juste pour vérifier 2c et 2d, MERCI bcp !

Bonjour FairMaths

Pour le théorème de Bezout, est -il nécessaire que les coefficients soient premiers entre eux ?

Je cite le théorème :
Soient $a$ , et $b$ , deux entiers relatifs non nuls ; $a$ , et $b$ , sont premiers entre eux si et seulement si il existe deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $a u + b v = 1$ .
Noemi
Pour le théorème de Bezout, est -il nécessaire que les coefficients soient premiers entre eux ?Deux coefficients seulement : $1$ et $- 4$ , puisque cette relation $u_{n+1}-4u_{n}=1$ garantie l'existence des entiers $u_{n+1}$ et $u_{n}$ ?
Cf 2c. Ma sauce à la récurrence est correcte ?

Merci

1 et -4 sont les deux entiers relatifs.

le 2 c est correct.

Merci