3. Equation de bernoulli

Equation de bernoulli

  • F

    Bonjour;

    J'ai une équation de type Bernoulli que je dois déterminer:

    y′=ay2+byy'=ay^2+byy′=ay2+by
    où a et b sont des constantes.
    alors Y=?

    mtschoon 1 réponse
  • mtschoon

    Bonjour,

    Je vois que tu as déjà une aide sur une autre forum , avec une bonne indication z=1/y.

    C'est la piste que je t'aurais donnée...

    F 1 réponse
  • F

    Oui, la même réponse sur l'autre forum
    mais j'ai pas eu toute la solution.
    comment j'arrive à résoudre équation linéaire y=?
    changement de variable: z=1/y
    z'=-az-b
    facteur intégration:m(x)=exp(∫eax)=eaxm(x)=exp (\int e^{ax})=e^{ax}m(x)=exp(∫eax)=eax

    on multiplie par ((z′eax+aeax)dx=−beaxdx(z'e^{ax}+ae^{ax})dx=-be^{ax} dx(z′eax+aeax)dx=−beaxdx
    =−baeax+c=\frac{-b}{a}e^{ax}+c=a−b​eax+c

    donc
    $y=\frac{a}{-b+ace^{-ax}$

    comment je détermine C =?

    mtschoon 1 réponse
  • mtschoon

    Sur un forum d'aide , on ne donne pas la solution !
    On donne des indications pour guider le demandeur , mais c'est à lui de faire le travail !

    La constante se détermine avec une condition initiale.

    Je te conseille de revoir tes calculs pour trouver l'équation différentielle linéaire de variable z , si l'équation de départ est vraiment y'=ay²+by...comme tu l'as écrit ici.

    Sur l'Ile tu as écrit y'=ay+by² ....avec la même réponse z'=...

    Tu fais donc des confusions ! ! !

    Reste sur un seul forum pour dialoguer , Merci ! ! !

    F 1 réponse
  • F

    Ok, pardon pour les confusions la forme de la fonction est la même a et b des constantes et la fonction Y dépend de la variable 'X'.
    1- Transformer l'équation de Bernoulli à une équation différentielle linéaire:
    1- solution que j'ai trouvé:
    divisons par y2y^2y2
    on obtient y−2y′+ay−1=by−1y^{-2}y'+ay^{-1}=by^{-1}y−2y′+ay−1=by−1
    par le changement de variable z'=1/y
    d'où la dérivée des 2 membres de la fonction: z′=−yy−2z'=-yy^{-2}z′=−yy−2substitutions ces transformations dans l'équation on trouve=−(ay+by2)y−2=-(ay+by^2)y^{-2}=−(ay+by2)y−2=z′=−az−bz'=-az-bz′=−az−b
    y=ce−ax−bay=ce^{-ax}-\frac{b}{a}y=ce−ax−ab​
    2- solution par intégration solution: y=a−b+aceaxy=\frac{a}{-b+ace^{ax}}y=−b+aceaxa​

    la quelle des deux solutions je dois tenir?

    ok, pour la constante je pose y(0)=0 si solution 1: c=bac=\frac{b}{a}c=ab​

    pour solution 2 C= 0

    mtschoon 1 réponse
  • mtschoon

    Au final , c'est donc dey'=ay+by² dont il s'agit ! ! !

    Donc , z'=-az-b

    Ensuite , tu mélanges z avec y

    $\text{z=ce^{-ax}-\frac{b}{a}$

    D'où :

    $\text{\frac{1}{y}=ce^{-ax}-\frac{b}{a}$

    Ensuite , tu prends l'inverse pour avoir y

    *Remarque : pour déterminer éventuellement la valeur de la constante , ce n'est pas à toi à inventer une condition , elle doit être donnée dans l'énoncé. *

    F 1 réponse
  • F

    Merci c'est gentil de votre part.

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