Montrer qu'une suite est géométrique

Bonjour, bonsoir !

Révisant pour mon BAC, je suis tombé sur un développement que je n'ai pas compris entièrement. Plus précisément, le passage d'une étape à une autre. Pour cela, je viens vous demander un peu d'aide.

Je vous expose le problème.

On me donne la suite :

$un+1=3un1+2unu_{n+1}=\frac{3u_{n}}{1+2u_{n}}$

Après quelques questions, on me donne ceci en plus :

$vn=un1−unv_{n}=\frac{u_{n}}{1-u_{n}}$

On me demande de montrer que cette même suite est géométrique de raison 3.
Je me souviens bien qu'il faut faire $v_{n+1}$ pour trouver la raison.

Cependant, je n'ai pas réussi à aller au bout de mon calcul. Pour cause, cette étape :

$\frac{\frac{3u_{n}}{1+2u_{n}}}{1-\frac{3u_{n}}{1+2u_{n}}} \ \ = \frac{3u_{n}}{1+2u_{n}-3u_{n}}$

Ça doit surement être tout bête, mais je ne vois pas la marche à suivre pour passer cette étape.
En tout cas, merci d'avance pour ceux qui pourront m'expliquer !

Bonjour,

Tu y es presque : il te reste à terminer le calcul et mettre 3 en facteur.

$vn+1=3un1−un=3(un1−un)=3vnv_{n+1}=\frac{3u_n}{1-u_n}=3(\frac{u_n}{1-u_n})=3v_n$

Bon courage pour tes révisions !

Escusez moi, je m'insère dans une conversation qui n'est pas a moi mais j'ai voulu éssayer de faire l'énnoncé pour réviser et pourriez vous me dire comment vous êtes passés de

$\frac{\frac{3u_{n}}{1+2u_{n}}}{1-\frac{3u_{n}}{1+2u_{n}}} \ \ à \ \ =\frac{3u_{n}}{1+2u_{n}-3u_{n}}$

ça doit vraiment être tout bête mais bizzarement j'ai des Un² qui apparaissent !

Je t'ai déja donné une réponse , mais ce n'était peut-être pas ce que cherchais ...

C'est peut-être pour passer de ta première formule écrite à la seconde ? ? ?

Si c'est cela :

Tu réduis au même dénominateur :

$\text{v_{n+1}=\frac{\frac{3u_n}{1+2u_n}}{\frac{1+2u_n}{1+2u_n}-\frac{3u_n}{1+2u_n}}$

$\text{v_{n+1}=\frac{\frac{3u_n}{1+2u_n}}{\frac{1+2u_n-3u_n}{1+2u_n}$

Tu peux simplifier directement par $1+2u_n)$ , ou , si tu préfères détailler , tu multiplies le numérateur par l'inverse du dénominateur et tu simpliefies ensuite par $1+2u_n)$

La fin du calcul est fait dans ma réponse précèdente.

Oui c'était bien ça, j'ai compris, merci !!!!!!!

De rien !