Calcul du volume d'un octaèdre à partir du rayon
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Lluckyluna dernière édition par Hind
Bonjour, j'ai un exercice de géométrie dans l'espace à faire contenant un octahèdre, je ne vois pas comment en calculer son volume ce qui me bloque dans l'exercice suivant :
On considère une sphère Z de centre O de rayon OA = 4 cm.
Un octaèdre SABCDT est inscrit dans cette sphère.
(Les points S, A, B, C, D, T sont sur la sphère, le quadrilatère ABCD est un carré de cente O et les pyramides SABCD et TABCD sont réguliers)
Elève A : "Le volume de l'octaèdre est égal à la moitié du volume de la sphère"
Elève B : "Pas du tout, le volume de l'octaèdre est inférieur au tiers du volume de la sphère."
Eleve C : "pour le volume, je ne sais pas mais je peux dire que toutes les faces de l'octahèdre son des triangles équilatéraux."
Qui a raison ?
Je sais que le volume de la sphère est 4/3.pi.R3 = 150,8 cm3
que la moitié du volume de la sphère est égal à 75,4 cm3 et le tiers à 50,3 cm3
Je sais que l'élève C a raison car les faces de l'octaèdre sont toutes des triangles équilatéraux mais je ne sais pas comment le prouver.
Mais je ne sais pas comment calculer le volume de l'octaèdre à partir du rayon OA.
Je vous demande votre aide s'il vous plait, merci d'avance.
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mtschoon dernière édition par
Bonsoir,
Si j'ai bien lu , l'octaèdre est composé de deux pyramides égales , symétriques par rapport au plan (ABCD) .
Tu peux calculer le volume d'une de ces deux pyramides.
Ensuite , tu multiplies par 2 pour avoir le volume de l'octaèdre.Rappel pour le volume d'une pyramide : $\text{\frac{1}{3} \times aire de la base \times hauteur$
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Lluckyluna dernière édition par
mtschoon
Bonsoir,Si j'ai bien lu , l'octaèdre est composé de deux pyramides égales , symétriques par rapport au plan (ABCD) .
Tu peux calculer le volume d'une de ces deux pyramides.
Ensuite , tu multiplies par 2 pour avoir le volume de l'octaèdre.Rappel pour le volume d'une pyramide : $\text{\frac{1}{3} \times aire de la base \times hauteur$
D'accord mais pour calculer l'aire de la base j'ai besoin du coté mais comme je n'ais pas cette donnée, comment je l'obtient ?
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mtschoon dernière édition par
La base est le carré ABCD de centre O
OA=OB=OC=OD=4
Par exemple , pour calculer AB , utilise le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle isocèle AOB :
AB²=AO²+OB²=4²+4²=...
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Lluckyluna dernière édition par
mtschoon
La base est le carré ABCD de centre OOA=OB=OC=OD=4
Par exemple , pour calculer AB , utilise le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle isocèle AOB :
AB²=AO²+OB²=4²+4²=...
Ah d'accord ! Merci beaucoup pour votre aide.
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mtschoon dernière édition par
De rien !
J'espère que tu as trouvé AB=32=42AB=\sqrt{32}=4\sqrt 2AB=32=42
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Lluckyluna dernière édition par
mtschoon
De rien !J'espère que tu as trouvé AB=32=42AB=\sqrt{32}=4\sqrt 2AB=32=42
Oui j'ai bien trouvé cela donc les élèves A et B ont tort mais je ne sais pas comment prouver que les faces sont des triangles équilatéraux à partir de ces mesures
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mtschoon dernière édition par
Tu utilises encore le théorème de Pythagore.
Par exemple , pour calculer SA :
Le triangle SOA est rectangle en O
SA²=SO²+OA²=4²+4²=16+16=32
Donc : SA=32=42SA=\sqrt{32}=4\sqrt 2SA=32=42
Idem pour les autres côtés.
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Lluckyluna dernière édition par
D'accord merci beaucoup.
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mtschoon dernière édition par
De rien !
Bon DM