variable aléatoire à densité


  • S

    Bonjour,
    Soit X une variable aléatoire réelle de densité f.
    Calculer E(X) et V(X).
    sachant que f est la fonction définie par f(x) = 0 si x<0
    f (x)=(√(2/π))*e∧(-x²/2) si x>=0
    il est précisé que l'intégrale de e∧(-x²/2)dx = √2π et √(2/π)≈0.8 et e∧-1/2≈0.6.

    Je n'arrive pas à calculer les intégrales, pouvez vous m'aider?

    merci


  • mtschoon

    BONJOUR ! ( un petit "bonjour" fait plaisir )

    Quelques pistes pour les intégrales dont tu as besoin.

    Pour calculer E(X), il te faut I :

    $i=\bigint_0^{+\infty}xe^{-\frac{x^2}{2}}dx=-\bigint_0^{+\infty}(-x)e^{-\frac{x^2}{2}}dx$

    Tu reconnais U'eUe^UeU dont une primitive est eUe^UeU

    Donc :i=[−e−x22]0+∞=.........i=[-e^{-\frac{x^2}{2}}]_0^{+\infty}=.........i=[e2x2]0+=.........

    Pour calculer V(X), il te faut J :

    $j=\bigint_0^{+\infty}x^2e^{-\frac{x^2}{2}}dx$

    Une IPP convient .

    Tu poses

    u(x)=xu(x)=xu(x)=x
    v′(x)=xe−x22v'(x)=xe^{-\frac{x^2}{2}}v(x)=xe2x2
    u′(x)=1u'(x)=1u(x)=1
    v(x)=−e−x22v(x)=-e^{-\frac{x^2}{2}}v(x)=e2x2

    Tu dois obtenir :

    $j=[-xe^{-\frac{x^2}{2}}]_0^{-\infty}+\bigint_0^{+\infty}e^{-\frac{x^2}{2}}dx$

    Avec une donnée de l'énoncé , tu peux trouver la valeur de l'intégrale restante.

    Bons calculs !


  • S

    Bonjour ^^ , merci pour les pistes!


  • mtschoon

    De rien !


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