Arithmétique:numération.

Bonjour à tous.
1°.x est un entier naturel .
Montrer que $\equiv {0}\pmod7$ si et seulement si $\equiv {0}\pmod7$ .
2°.N et N' sont deux entiers naturels qui s'écrivent ,en base dix :
$n=anan−1an−2.....a1a0ˉ10n=\bar{a_{n}a_{n-1}a_{n-2}.....a_{1}a_{0}}^{10}$ et
$n′=anan−1.....a1ˉ10n'=\bar{a_{n}a_{n-1}.....a_{1}}^{10}$ .
Montrer que :
$n≡0(mod7)n\equiv{0}\pmod7$ si et seulement si $n′−2a0≡0(mod7)n'-2a_{0}\equiv{0}\pmod7$
3°.
Montrer ,en itérant ce qui précède ,que 1O5154 et 263572 sont divisibles par 7.

1°. J'ai dressé un tableau des congruences modulo 7 et effectivement ,il y'a une et une seule solution $x≡0(mod7)x\equiv{0}\pmod7$ .
2°.C'est ici que ça ne va pas.
J'ai écrit $n-n'=a_{0}$ et $n−n′≡a0(mod10)n-n'\equiv{a_{0}}\pmod{10}$ et
$n-n'=10k +a_{0}=7k+a_{0}+3k$ ou bien $n≡n′+3k+a0(mod7)n\equiv{n'+3k+a_{0}}\pmod7$ .J'ai bien sur continué mais cette piste ne m'a mené nulle part.
Je vous remercie pour toute indication.

Bonjour,
N-N' = a0 est faux : c'est N = 10N'+a0
Ensuite, il faut raisonner modulo 7, pas modulo 10.
N ≡ 3N' + a0 [7] (car 10 ≡ 3)
Donc N ≡ 0 ⇔ 3N' +a0 ≡ 0[7]
Donc N ≡ 0 ⇔ 6N' +2a0 ≡ 0 [7]
N ≡ 0 ⇔ -N' + 2a0 ≡ 0 [7] (car 6 ≡ -1)
Donc N ≡ 0 ⇔ N' - 2a0 ≡ 0 [7]

Bonjour Mathtous.
Je vous montre ,si j'ai bien compris ,pour le nombre 105 154.
$154=10\times{10515} +4$ et 10 515 -8=10 507
$507=10\times{1050} +7$ et 1 050 -14=1 036
$036=10\times{103}+6$ et 103 -12 =91
$91=10×9+191=10\times{9}+1$ et 9-2=7.
On a donc $7≡0(mod7)7\equiv0\pmod7$ est équivalent à $154\equiv0\pmod7$ .
Je ne peux que vous dire merci Monsieur.

Oui, c'est bien ça.
Bon courage.

Bonjour.
Je vous remercie.