Exercice sur les suités géométriques

Pour tout entier naturel n, on pose :

un = pn/((80)x((1/2)^n)) + 1

a) Démontrer que la suite (un) est géométrique de raison 2.

b) Exprimer alors un en fonction de n.

c) En déduire que, pour tout entier naturel n,
pn=120-80× (1/2)

Je n'arrive pas à répondre à ces questions. Pour la a) j'ai fais Un+1/Un et je retrouve Un est-ce normal ? Merci d'avance pour votre aide.

Pour pouvoir répondre à la question a), il faudrait connaitre l'expression de pn ...

je n'ai pas l'expression de pn j'ai que celle dePn+1 :
Pn+1 = Pn+ 80 * 0.5^(n+1)

En exprimant un+1/un, j'aboutis à 2(Pn+1 + 80(1/2)^(n+1))/(Pn + 80(1/2)^n). En remplaçant Pn+1 par Pn+ 80(1/2)^(n+1), l'ensemble se simplifie pour donner 2.

Quelles sont les étapes pour que tu obtiennes
2(Pn+1 + 80*(1/2)^(n+1))/(Pn + 80(1/2)^n) ?

Sachant que $u$ n $= p$ n $80(1/2)^n$ )+1 et $u$ {n+1} $= p$ {n+1} $80(1/2)^{n+1}$ )+1, on obtient:
$u$ {n+1} $u_n$
= $[p$ {n+1} $/ (80 (1 / 2)$ ^{n+1} $) + 1] / [p$ n $80(1/2)^n$ )+1]
= $[(p$ {n+1} $+ 80 (1 / 2)$ ^{n+1} $) / (80 (1 / 2)$ ^{n+1} $)] / [(p$ n $+ 80 (1 / 2)$ ^n $80(1/2)^n$ )]
= $2 (p$ {n+1} $+ 80 (1 / 2)$ ^{n+1} $) / (p$ _n $80(1/2)^n$ )
car $(80 (1 / 2)$ ^{n+1} $80(1/2)^n$ ) = 2.

Ok super merci beaucoup !
Pour la b) par contre je ne sais pas du tout comment m'y prendre

Là c'est facile ! Puisque $u_n$ est une suite géométrique de raison 2, on va avoir $u_n$ = $u$ _0 $2^n$ avec $u_0$ = $p_0$ /80 + 1 (j'imagine que $p_0$ est connu).

Oui il est égal à 20

Donc u0 = 1.25 ?

Oui ou $u_0$ = $54{5\over{4}}$ pour utiliser une fraction (préférable aux nombres à virgule en maths).

ok merci et pour la c) il faut poser quoi pour déduire la formule de pn ?

On sait que et $u_n$ = $542n{5\over{4}}{2^n}$ et que $u_n$ = $p$ _n $80((1/2)^n$ )) + 1 soit encore $542n{5\over{4}}{2^n}$ = $p$ _n $80((1/2)^n$ )) + 1. A partir de cette dernière relation, il est possible d'exprimer $p_n$ ...

Oui mais je ne retombe pas sur la formule de l'énoncé

??

Je trouve $p_n$ = 100 - $80(1/2)^n$ . L’énoncé demande-t-il bien de trouver pn=120-80× (1/2) ?