Dérivation - Tangentes

Bonjour à tous,

J'ai un exercice d'un DNS pour le 02 avril qui me pose problème. En voici l'énoncé:

On considère la fonction $f(x)=-x^4$ +2x²+x et Cf la courbe de f.

Déterminer l'équation de la tangente (T) à Cf au point A(-1;0).
Existe-t-il des points de Cf en lesquels la tangente à cette courbe est parallèle à (T)?
La droite (T) est-elle tangente à Cf en un point distinct de A? Justifier.

J'ai réussi à faire la première question. Voici ce que je trouve:

J'ai commencé par calculer la fonction dérivée de f:
f'(x)= -4x³+4x+1

Puis j'ai chercher l'équation de la tangente:
(x-a) f'(a)+f(a)
a = -1
f'(a)=-4*(-1)³+4*(-1)+1= 4-4+1= 1
f(a)= $1)^4$ +2X(-1)-1= 1+2-1= 0

(x+1)*1 + 0= x+1= x+1
(Sachant que * désigne une multiplication, on ne voit pas la différence avec les "x" sinon)

Pour la question 2 j'ai eu beau réfléchir pendant une bonne heure sur la question et essayé plusieurs procédés ils ont tous échoués.

Pour la question 3, j'ai regardé sur ma calculatrice. Il existe bien un deuxième point, qui est le point de coordonnée (1;2). Je ne sais malheureusement pas comment le prouver.

En espérant que vous pourrez m'aider

Naëlle

Bonjour,

Pistes,

Oui pour la 1)

Pour la 2) : le coefficient directeur de la tangente (T) en A est 1

Deux droites parallèles ont même coefficient directeur

Tu dois donc résoudre f'(x)=1

Fais la 2) avant de penser à la 3) car les questions s'enchaînent.

Merci pour cette réponse. Alors si j'ai bien compris c'est cela que je dois faire:

f'(x)=1
$4x^4$ +4x+1=1

Est-ce que j'ai raison?

attention.

$f'(x)=-4x^3+4x+1$

Tu dois résoudre : $4x^3+4x+1=1$

Par contre j'ai du mal à comprendre une chose:

Pourquoi doit-on résoudre f'(x)=1 et pas f(x)=1?

f'(x) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse x

1 est le coefficient directeur de (T)

Deux droites parallèles ont même coefficient directeur , donc....

D'accord! Merci beaucoup, je viens de comprendre. Néanmoins, je ne vois toujours pas comment la question 2 aide à résoudre la 3.

S'il te plait mamanou59 , commence par donner les réponses que tu as trouvées à la question 2).
Ce sera plus aisé pour expliquer la suite.

D'accord. Alors voici ce que j'ai trouvé:

f'(x)=1
-4x³+4x+1=1
-4x³+4x=0
x(-4x²+4)=0

soit x=0

soit -4x²+4=0
x=1 ou x=-1

On peut donc dire que les points de Cf où la tangente à Cf est parallèle à (T) ont pour abscisse -1;0;1

C'est bien ça.

Piste pour la 3) :

f(-1)=0 , f(0)=0 , f(1)=2

La 2) te permet de dire que les points de Cf en lesquels la tangente à cette courbe est parallèle à (T) sontA(-1,0) , B(1,2) et O(0,0)

Les points que tu cherches à la question 3) font forcément partie de ces points.

Tu connais l'équation de (T) : y=x+1

Il te reste à chercher l'équation de la tangente en O puis l'équation de la tangente en B .

L'équation de la tangente en O ne doit pas être y=x+1 , donc O ne convient pas.

L'équation de la tangente en B doit être y=x+1 , donc B convient.

Cela fonctionne très bien merci beaucoup! Voici ce que j'ai trouvé:

(T1) est la tangente en B(1,2). f(1)=2 f'(1)= -41³+41+1=1
y1=(x-1)f'(1)-f(1)
y1=(x-1)*1+2
y1=x-1+2
y1=x+1 = (T)

(T2) est la tangente en C(0,0). f(0)=0 f'(0)= -40³+40+1=1
y2= (x-0)f(0)+f'(0)
y2= 0*0+1
y2= 1 ≠ (T)

Donc la droite (T) est également tangente au point B(1;2).

Pour (T1) : l'équation est bien y=x+1 donc (T1)=(T)

Fais attention pour (T2) :

y2=f'(0)(x-0)+f(0)=1(x-0)+0=x donc (T2) ≠ (T)

D'accord, je viens de rectifier.
Merci !

De rien!