DM Produit maximal 1S

Bonjour,
ABC est un triangle rectangle en A tel que :
AB = 4 et AC = 3 en cm
I : milieu de [AB]
M : un point de [AC]
N : un point de [BC]
Le triangle CMN a pour aire 2cm²

1/ On pose CM=x et CN=y. Montrer que y=5/x
J'ai beau essayer des tas de choses, il manque à chaque fois un donnée dans l'énoncé pour que ça marche
2/ Déterminer les positions des points M et N pour que l'aire de IMN soit minimale.

Merci.

On dit bonjour,
Donc je le dis.
Pour commencer, fais la figure, trace la hauteur issue de N dans le triangle MNC.
Calcule BC puis h, la hauteur ci-dessus.

Mille bonjours et mille merci de répondre
J'avais déjà calculé BC. BC=5cm par Pythagore
J'ai essayé aussi pleins de fois de calculer h, mais je ne trouve pas comment.

Avec le théorème de Thalès, car la hauteur est perpendiculaire à (AC) donc parallèle à (AB).

On définit le point P appartenant à AC étant le pied de la hauteur.
PN=h ( x est déjà pris ^^ )
Thalès : CP/CA=CN/CB=PN/AB
AN: x/3=y/5=h/4. Avec le produit en croix on trouve y=5x/3 et non 5/x

Que vient faire AN ?
CP ne vaut pas x
Utilise simplement CN/CB=PN/AB

Je voulais dire application numérique comme en physique, je comprend maintenant pourquoi on n'utilise ça qu'en physique.
Oui je m'excuse pour l'erreur.
Le produit en croix me donne ici y=5h/4

Oui, mais exprime plutôt h en fonction de y.
Puis, calcule l'aire du triangle CMN : sachant qu'elle vaut 2, cela te donnera ta relation entre y et x.

h=4y/5 par Thalès.
Aire de CMN=((4y/5)x):2= 2. ---> (4yx)/10=2
4yx=20. ( Produit en croix ).
yx=5
y=5/x.
Est-ce le bon cheminement ? Merci beaucoup.

Oui,
c'est correct.

Ensuite pour la seconde question je ne sais pas comment faire. J'ai essayé d'en déduire x ou y mais en vain. Pourriez-vous me donner une piste?

Calcule l'aire de IMN par différences d'aires.

J'ai aire de AMI = -x+3
Aire de ABC = 6
Aire de CMN = 2
Aire de NIB = 1,5
Aire de IMN = 6 - ( 2-x+3+1,5)= x-0,5

Donc f(x) la fonction aire de IMN = x-0,5.

Est-ce juste ? Je dois dériver ensuite?

Citation
Aire de ABC = 6
Aire de CMN = 2
Oui, mais le reste est faux.
Détaille comment tu trouves l'aire de AMI.

Aire de AMI = (AIxAM):2
AI = 2 et AM = 3-x
Donc (2(3-x)):2=3-x

C'est juste (désolé).
Détaille maintenant le calcul de l'aire de NIB : il te faut une hauteur.

Oui alors justement je l'ai inventée cette hauteur h'
Aire de IBN =(2h'):2=h'
Donc Thales ici donne : bn/bc=bi/ba=ni/ca
5-y/5=1/2=h'/3
Donc avec le produit en croix : h'=3/2
Aire de IBN=3/2?

Non, car la hauteur n'est pas (NI).
Fais un dessin.
Il serait d'ailleurs surprenant que l'aire de NIB ne dépende pas de y.

Ça fait longtemps que j'ai mon dessin. Comme base on prend IB=2 ou NB=5-y ? Et il faut refaire Thales?

Comme base, choisis IB
La hauteur est donc la droite issue de N et perpendiculaire (en H par exemple) à (AB). Peu importe qu'elle tombe en dehors de [IB].
Calcule NH avec Thalès.

Ok donc BN/BC=BH/BA=NH/CA
5-y/5=BH/4=NH/3
avec le produit en croix NH = (3(5-y)):5 = (15-3y):5
aire de IBN = (2 ((15-3y):5)):2 = (30-6y):10 = -3/5y + 3.

Ça me semble juste.
Maintenant, remplace y par 5/x, et calcule l'aire de MIN.

aire de IBN = -3/5y +3 = (-15/5x)+3 = -3/x + 3
Aire de ABC = 6
CMN= 2
AMI = 3-x

Aire de MIN = 6 - ( 2+3-x-(3/x) +3) = (-2x+x²+3):x
Est-ce juste ? Ensuite, je dérive et étudie le signe ?

Oui, le signe de la dérivée afin d'étudier les variations.
N'oublie pas que la fonction n'est pas définie en 0. En fait, elle est définie sur ]0 ; +3].

f(x) = aire de MIN
f(x) = (-2x+x²+3):x
f'(x)=(x²-3):x²
delta = 12
x = √3
Donc valeur de x pour que l'aire soit minimale est √3

Est-ce juste?

f(x) = aire de MIN
f(x) = (-2x+x²+3):x
f'(x)=(x²-3):x²
delta = 12
x = √3
Donc valeur de x pour que l'aire soit minimale est √3

Est-ce juste?

La réponse est juste mais doit s'accompagner d'une explication : il faut indiquer les variations de f, car si elles vont dans le "mauvais" sens, ton minimum pourrait être un maximum. Je précise : les valeurs annulant la dérivée correspondent soit à des maxima,soit à des minima (locaux).

Oui oui c'est ce que j'ai fais, en precisant que le signe depend de a puisqu'il s'agit d'une fonction du 2nd degré.
Merci beaucoup mathtous

De rien.

f(x) = aire de MIN
f(x) = (-2x+x²+3):x
f'(x)=(x²-3):x²

Il me semble qu'il y a une erreur.

Dérivée de x² -> 2x
Dérivée de 1/x -> -1/x²
(-2+2x)*(-1/x²) = (2-2x)/x²

LeSouricierGris , bonjour,

Ici, on dit "bonjour" ou "bonsoir" lorsqu'on arrive sur le forum.
C'est la première fois que tu viens alors tu ne le savais peut-être pas, mais pense-y une autre fois. Ce n'est pas une option !

Je regarde tes calculs

Revois la dérivée d'un quotient

$f(x)=x2−2x+3xf(x)=\dfrac{x^2-2x+3}{x}$

$U(x)=x^2-2x+3$ donc $U^{'} (x) = 2 x - 2$
$V (x) = x$ donc $V^{'} (x) = 1$

$f′(x)=U′(x)V(x)−U(x)V′(x)(V(x))2f'(x)=\dfrac{U'(x)V(x)-U(x)V'(x)}{(V(x))^2}$

$f′(x)=(2x−2)(x)−(x2−2x+3)(1)x2f'(x)=\dfrac{(2x-2)(x)-(x^2-2x+3)(1)}{x^2}$

$f'(x)=\dfrac{2x^2-2x-x^2+2x-3}{x^2}=\fbox{\dfrac{x^2-3}{x^2}}$

Le résultat proposé dans cette discussion était bien exact.

@mtschoon Bonsoir,

En effet, grosse erreur de ma part. Je la cherchais justement après un tracé de la fonction.

Merci de votre aide, je crois que j'aurai cherché longtemps (plus en mémoire de la dérivée u(x) / v(x) ).

Bien cordialement

De rien LeSouricierGris et bonne soirée !