Résoudre un système de deux équations à deux inconnues

Bonjour,
Voilà alors enfait j'avais plusieurs exercices a faire mais je bloque complètement sur celui là! Pourriez vous m'aider svp?! L'énoncé est:
On considère le système de deux équations à 2 inconnues:
ax+by=c
a'x+b'y=c'

En supposant b pas égal à 0 et b´ pas égal a 0. Écrire l'équation réduite des droites d et d' d'équations respectives ax+by=c et a'x+b'y=c'
À quelle condition les droites d et d' sont elles parallèles? Montrer que cette condition s'écrit ab'-ba'=0
Que peut-on dire des solutions du système?
On admet que le système ax+by=c a'x+b'y=c' a une solution unique si, et seulement si, ab'-ba' n'est pas égal a 0 et on considère dans cette question que cette condition et remplie.
a) multiplier les 2 membres de la 1ère équation par b' t les 2 membres de la 2nde par (-b), puis ajouter membre à membre les 2 équations obtenues.
b) multiplier les 2 membres de la 1ère équation par (-a') et les 2 membres de la 2nde par a, puis ajouter membre à membre les 2 équations. En déduire la valeur de y.
Écrire un algorithme permettant de déterminer si le système ax+by=c a'x+b'y=c' a une solution unique et fournir dans ce cas cette solution. Traduire cet algorithme en un programme pour la calculatrice.
Utiliser le programme de la question 3 pour résoudre les systèmes suivants
a) 3x+2y=1 b) 3x+4y=5
5x+y=9 9x+10y=11

c) 6x-3y=10
-8x+4y=1

Voilà c'est l'énoncé maintenant je pense que si vous m'aider à débloquer de la question 1 je pourrai faire la suite seule.
Merci d'avance

Bonjour,

Piste pour la 1)

(d) : tu isoles by et tu divises par b ( non nul ) pour obtenir y

tu dois trouver $y=−abx+cby=-\frac{a}{b}x+\frac{c}{b}$

Idem pour (d') : $y=−a′b′x+c′b′y=-\frac{a'}{b'}x+\frac{c'}{b'}$

(d)//(d)' si et seulement si même coefficient directeur :

$−ab=−a′b′-\frac{a}{b}=-\frac{a'}{b'}$

tu transformes ( produit en croix, ...) pour obtenir ab'-ba'=0

Je n'y arrive vraiment pas j'y ai réfléchi toute l'apres midi!

As-tu compris mon expliacation ?

Si c'est non : précise le probmème

Si c'est oui , il faut terminer la transformation :

$−ab=−a′b′⟺ab=a′b′-\frac{a}{b}=-\frac{a'}{b'} \Longleftrightarrow \frac{a}{b}=\frac{a'}{b'}$

en faisant les produits en croix :

$a b^{'} = b a^{'}$

en transposant

$a b^{'} - b a^{'} = 0$

Essaie de poursuivre.

J'ai comprit l'explication mais je n'arrive pas a l'appliquer! :frowning2:

Pour les conclusions de la 1) , tu n'as plus aucun calcul à faire.

Tu tires les conclusions logiquement.

Si ab'-ba'=0 alors (d)//(d') : tu déduis ce qui constitue l'intersection de (D) avec (D') donc l'ensemble de solutions du système

Oui mais l'équation réduite?!

Si ta compris mon explication , les équations réduites sont les deux premières formules écrites dans ma première réponse .

Ce sont les équations de la forme y=mx+p

Mais est ce que je dois lé développer comment on trouve ça où pas?

mtschoon
Pour les conclusions de la 1)
tu déduis ce qui constitue l'intersection de (D) avec (D') donc l'ensemble de solutions du système

Evidemment qu'il faut détailler.

Pour (d) : ax+by=c <=> by=-ax+c

Vu que b≠0 , on peut diviser par b : $y=−abx+cby=-\frac{a}{b}x+\frac{c}{b}$

Même principe pour (d')

Pour ta seconde question, il faut comprendre le raisonnement logique.

Lorsque les droites sont parallèles , elles peuventre parallèles distinctes ou confondues.

Si elles sont parallèles distinctes , il n'y a aucun point d'intersection , donc le système composé par leurs équations est impossible ( aucun couple de solutions )

Si elles sont parallèles confondues , il y a une infinité de points d'intersection , donc le système composé par leurs équations est indéterminé ( infinité de couples de solutions )

Bilan : lorsque ab'-ba'=0 , le système composé par les deux équations est impossible ou indéterminé

Pour la 2 on nous dit que ab'-n'a n'est pas =0 et tu as mi que c'était égale a 0! Je ne comprend pas du coup le système peut être déterminé?

1) et 2) sont deux cas distincts.

Dans la question 1) , il s'agit du cas où les droites (d) et (d') sont parallèles , c'est à dire le cas oùab'-ba'=0, c'est à dire le cas où le système est impossible ou indéterminé.

Dans la question 2) , qui représente la "négation" de la question 1) :

on est dans la cas où ab'-ba'≠0 , les droites (d) et (d') ne sont pas parallèles, elles se coupent en un point de coordonnées (x0,y0) couple unique de solutions du système

Ok mais cela ne m'aide pas pour la question 2a?! Comment je fait?

Je ne compte pas te faire tout ton exercice ! ce n'est pas le but...

Pour le 2)a) , pars du système :

$\left{ax+by=c\ a'x+b'y=c' \right$

Fais exactement ce qui est écrit dans l'énoncé :

multiplie les 2 membres de la 1ère équation par b' , multiplie les 2 membres de la 2nde équation par (-b), puis ajoute membre à membre les 2 équations obtenues.

Il me semble que c'est clair.

Essaie et tiens nous au courant.

Oui ce n'est as le but mais ce n'est pas ce que je demande!
Quelles sont les valeurs de b et b'?

Tu n'as aucune valeur précisée .
Ce sont des calculs théoriques qui sont demandés ici.
Ce n'est qu'à la question 4 , que tu auras des valeurs numériques connues.

Je te détaille le 2)a) , mais ce sera à toi de faire le 2)b)

multiplie les 2 membres de la 1ère équation par b' :
ab'x+bb'y=bb'

multiplie les 2 membres de la 2nde équation par (-b) :
-ba'x-bb'y=-bc'

ajoute membre à membre les 2 équations obtenues :
ab'x+bb'y-ba'x-bb'y=cb'-bc'

simplifie :
ab'x-ba'x-=cb'-bc'

mets x en facteur:
x(ab'-ba')=cb'-bc'

Comme ab'-ba' est non nul :

$\fbox{x=\frac{cb'-bc'}{ab'-ba'}}$

A toi de faire le 2)b) et donne nous la valeur que tu trouves pour y , si tu le souhaites.