P.G.C.D.


  • M

    Bonjour à tous.
    a et sont deux entiers naturels non nuls .
    Montrer que :
    Si PGCD(a;b)=1 et k entier naturel non nul ne divisant pas a, alors PGCD(a;kb)=1.

    J'ai essayé de démontrer la contraposée:
    Si pgcd(a;kb)≠1pgcd(a;kb)\neq{1}pgcd(a;kb)=1 alors pgcd(a;b)≠1pgcd(a;b)\neq{1}pgcd(a;b)=1.
    Soit d un diviseur commun à a et kb différent de 1,d admet donc m≠1m\neq{1}m=1 comme diviseur premier.
    [m|d et d|kb donc m|kb] et [m|d et d|a donc m|a].Comme m premier on a (m|k ou m|b) ET (m|a).
    On a alors :
    [m|a et m|b] OU [ m|k et m|a]. Je sais que j'ai la moitié de la réponse et ne vois pas quoi faire avec m|k et m|a.

    Je n'ai pas trouvé cette question dans un exercice.J'ai seulement pensé que c'était "evident" et j'ai voulu le prouver.
    Si elle n'a pas de sens ,veuillez me pardonner.


  • M

    Salut.
    Je pense que mes données sont fausses.Si je prends a=12 ,b=5 , k=8 ,
    8 ne divisant pas 12,j'ai bien PGCD(12;5)=1 mais PGCD (12;8x5)=4.
    Je crois qu'il fallait plutot poser PGCD(a;k)=1.
    Je vais réapprendre tout mon cours d'Arithmétique.
    Veuillez m'excuser.


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