Divisibilité 2.

Bonjour à tous.
Montrer que quelque soit $n∈nn\in{\mathbb{n}}$ $3|5n^3+n$ .
Je sais le démontrer par récurrence sur N ou bien par disjonction en étudiant les cas
n=3k ou n=3k+1 ou n=3k+2.
Je ne sais pas si les combinaisons linéaires permettent de conclure.
$3|3(5n^3)$ et $3|3(5n^3+n)$ donc
$3|15n^3+3n -15n^3$ donc $3 ∣ 3 n$ qui est vrai quelque soit n.
Je ne sais pas si j'ai démontré la propriété demandée.
Merci pour votre correction.

Salut,

Ta démonstration ne semble pas correcte. Utiliser un résultat dont on est pas sûr pour démontrer un résultat vrai ne suffit pas. (Par contre ça peut permettre de montrer que le résultat de départ est faux, comme dans les preuves par l'absurde.)

Il te faudrait un théorème comme "a|b+c => a|b et a|c", ce qui est faux (2|13+35).

Je pense que la disjonction des cas (voire la récurrence) est une bonne idée.

Merci beaucoup Schloub ,c'est très clair.