les vecteurs dans un triangle

bonjour. voici mon probleme.
ABC un triangle qque. E un pt de AB tel que BA=3 BE. D un pt de AC tel que CA=4 CD.
F un pt de BC tel que BF=3/5 BC. G etant le milieu de EC. montrer que les vecteurs BD et AF se croisent en G.
dans l'attente de vous lire et merci.

Bonsoir,

Je pense que tu veux démontrer que les sgments [BD] et [EG] se coupes en G

Une piste possible,

Fais d'abord un bon schéma.

Je t'indique une démarche pour prouver que B G D sont alignés c'est à dire que $BG⃗\vec{BG}$ et $BD⃗\vec{BD}$ sont colinéaires

Utilisation de la relation de Chasles

$BG⃗=BA⃗+AG⃗\vec{BG}=\vec{BA}+\vec{AG}$

Vu que G est le milieu de [EC] : $AG⃗=12(AE⃗+AC⃗)\vec{AG}=\frac{1}{2}(\vec{AE}+\vec{AC})$

( Si tu ne sais pas cette propriété , tu la prouves avec la relation de Chasles )

Donc : $BG⃗=BA⃗+12(AE⃗+AC⃗)\vec{BG}=\vec{BA}+\frac{1}{2}(\vec{AE}+\vec{AC})$

Tu transformes un peu et tu trouves :

$\fbox{\vec{BG}=2\vec{BE}+\frac{1}{2}\vec{AC}}$

Toujours avec Chasles :

$BD⃗=BA⃗+AD⃗\vec{BD}=\vec{BA}+\vec{AD}$

Tu transformes un peu et tu trouves :

$\fbox{\vec{BD}=3\vec{BE}+\frac{3}{4}\vec{AC}}$

Avec les deux relations encadrées , tu cherches k tel que $BD⃗=kBG⃗\vec{BD}=k\vec{BG}$

Sauf erreur , tu dois trouver $k=32k=\frac{3}{2}$

D'où la réponse.

Tu pratiques de la même façon pour prouver que les points C , G E sont alignés.

ami mtschoon bonjour et merci de votre genereux interet a aider les gens.
en 1er lieu s.v.p aider moi a trouver AG=1/2 (AE+AD).
en 2eme lieu: vous trouver la 3eme relation en remplacant AG par sa valeur
dans la 1ere relation mais AD n'est pas egal a AC ?
j'attends de vous lire.encore merci

Je regarde tes deux préoccupations

Par exemple :

$AG⃗=AE⃗+EG⃗\vec{AG}=\vec{AE}+\vec{EG}$
$AG⃗=AC⃗+CG⃗\vec{AG}=\vec{AC}+\vec{CG}$

En ajoutant membre à membre :
$2AG⃗=AE⃗+EG⃗+AC⃗+CG⃗2\vec{AG}=\vec{AE}+\vec{EG}+\vec{AC}+\vec{CG}$

Tu simplifies car G est lemilieu de [EC]
Tu divises par 2 et tu as la formule.

Pour ta 2eme préoccupation , je n'ai pas compris ce que tu veux dire...
Je peux te dire seulement que $AD⃗=34AC⃗\vec{AD}=\frac{3}{4}\vec{AC}$
Détaille mieux ce qui ne te va pas , si tu as besoin.

Exact et merci de l'avoir vu . J'ai modifié .

$AG⃗=12(AE⃗+AC⃗)\vec{AG}=\frac{1}{2}(\vec{AE}+\vec{AC})$

merci mais je reste dans l'attente de vous lire a propos de prouver que les vecteurs AG et AF sont colineaires.a vous et merci

Pour prouver que les points A , G , F sont alignés ( c'est à dire vecteurs colinéaires ) , tu appliquesexactement la même démarche que pour les points B , G , D.

Si tu as compris pour B , G , D , tu dois pouvoir faire pareil pour A , G , F

Sauf erreur , tu dois trouver :

$AF⃗=65AG⃗\vec{AF}=\frac{6}{5}\vec{AG}$

ami bonjour.avant de lire votre message ci-dessus j'allais vous poster qu'en
effet j'ai trouve AF/AG=6/5 et ce apres avoir etudie graphiquement et avec minutie la meme methode utilisee en premier lieu.
j'ai demarre avec AG=AB+BG BG=BE/2+BC/2 pour arriver a AG=-5/2BE+1/2BC et AF=-3BE+3/5 BC d'ou le rapport AF/AG=6/5. je vous remercie de m'avoir aiguille sur l'obvervation graphique ce qui facilite enormement la suite. encore merci et heureux de vous consulter a tout moment.salut et au revoir.

Parfait !

Les réponses que tu donnes sur $\text{\vec{AG} , \vec{BG} et \vec{AF}$ sont bonnes

Un détail : ne divise pas deux vecteurs...ce n'est pas correct car la "division" n'est pas définie dans l'ensemble des vecteurs.

N'écris pas $AF⃗AG⃗=65\frac{\vec{AF}}{\vec{AG}}=\frac{6}{5}$

Ecris : $AF⃗=65AG⃗\vec{AF}=\frac{6}{5}\vec{AG}$