logarithmes népériens


  • S

    Bonjour j'ai un problème avec cet exercice.
    Voici l'énoncé :

    On donne une fonction définie sur ]0;e[U]e;+∞[ par f(x) = 2x + x÷(ln x-1).

    a) Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
    b) Calculer f'(x) et étudier son signe. ( On remarque que ln(esqrtsqrtsqrte)= ... )
    c) Dresser le tableau de variations de f.
    d) Donner, selon les valeurs de m, le nombre de solutions de l'équation f(x)=m.

    Je bloque déjà à la première question car je ne sais pas comment calculer les limites aux bornes de e 😕
    Pour la limite en 0, j'ai trouvé 0.
    Pourriez vous m'expliquer comment faire la suite de l'exercice svp 🙂

    Merci d'avance. 🙂


  • mtschoon

    Bonsoir,

    Quelques pistes pour démarrer,

    Oui pour la limite en 0

    Pour +∞ , transforme un peu

    xlnx−1=xlnx1−1lnx\frac{x}{lnx-1}=\frac{\frac{x}{lnx}}{1-\frac{1}{lnx}}lnx1x=1lnx1lnxx

    Tu dois trouver +∞ pour limite de f(x)

    Pour x tendant vers e par valeurs inférieures :

    lnx-1 tend vers 0−0^-0 donc x/(lnx-1) tend vers -∞

    Tu dois trouver -∞ pour limite de f(x)

    Pour x tendant vers e par valeurs inférieures :

    lnx-1 tend vers 0+0^+0+ donc x/(lnx-1) tend vers +∞

    Tu dois trouver +∞ pour limite de f(x)

    Vois cela en détail et essaie de poursuivre.


  • S

    Bonjour mtschoon,

    Merci pour ta réponse. J'ai tout repris et bien compris la technique, et je trouve comme toi.

    Ensuite, j'ai calculé ma dérivée et je trouve (2lnx² - 3lnx - 3)/ ( lnx-1)².
    Je ne sais pas si c'est ça 😕


  • mtschoon

    Recompte ta dérivée.

    Sauf erreur , tu devrais trouver :

    $f'(x)=\frac{2(lnx)^2-3lnx}{(lnx-1)^2$


  • S

    En effet, je viens de recompter et je trouve comme toi.

    Ensuite, pour étudier son signe ... Le décominateur est forcèment positive puisque c'est au carré, mais pour le numérateur ?


  • mtschoon

    Pour le numérateur , tu mets lnx en facteur.

    Tu auras le signe d'un produit à chercher.


  • S

    Donc, ça donne lnx(2lnx²-3)
    (2lnx²-3) est positive.
    Et lnx ne doit pas être égal à 0.


  • mtschoon

    Citation
    lnx ne doit pas être égal à 0? ? pourquoi ? ?

    Ta factorisation n'est pas bonne.

    2(lnx)2−3lnx=lnx(2lnx−3)2(lnx)^2-3lnx=lnx(2lnx-3)2(lnx)23lnx=lnx(2lnx3)


  • S

    Oui,je suis bête --'. Les maths tout l'après-midi, ça ne réussit pas !
    Parce que ln0 n'existe pas.


  • mtschoon

    Effectivement ln0 n'existe pas .

    lnx existe seulement pour x > 0 mais lnx prend toute valeur réelle entre -∞ et +∞


  • S

    Donc, lnx > 0 ⇔ x>e 0^00⇔ x>1 ?
    Pour 2lnx-3≥0 ⇔ 2lnx≥3 ⇔ lnx≥3/2 ⇔ x≥ e3/2e^{3/2}e3/2 ?


  • mtschoon

    oui.


  • S

    Merci 🙂
    Par contre, je ne comprends pas la dernière question.


  • mtschoon

    Si tu parles de la question d) , tu n'as aucun calcul à faire.

    Tu utilises le tableau de variation ( ou le graphique ) que tu as fait.

    Avec le graphique :

    Tu traces la droite (Dm) d'équation y=m et tu détermines le nombre de points d'intersection de (Dm) avec la courbe , suivant la valeur de m .
    ( Les solutions de l'équation f(x)=m sont les abscisses de ces points )

    Je commence :

    pour m ≤ 0 : une solution
    pour 0 < m < 1 : deux solutions
    pour m=1 : une solution
    ....
    ....
    Tu continues.


  • S

    Merci beaucoup, j'ai compris la méthode. 🙂


  • mtschoon

    C'est bien !


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