Montrer des égalités de vecteurs à l'aide du barycentre


  • M

    S'il vous plait j'ai du mal avec un exercice pouvait vous m'aider ?

    Soit un triangle ABC,A' le milieu de [BC],B' le milieu de [AC] et C' celui de [AB] .
    On rappelle que ses médianes (AA') , (BB') , et (CC') sont concourantes ; le point de concourt , noté G, est le centre de gravité du triangle et vérifie :

    AG=1/2 AA' , BG = 2/3 BB' et CG =2/3 CC'

    On introduit le symétrique D de A par rapport à A'.

    1)Enfin,en écrivant GB=GA+AB et GC = ...?..., déduire du résultat précédent que GA+GB+GC=0.

    2)Soit un point G' tel que G'A+G'B+G'C=0.
    Démontrer que 3G'G=0 ; que peut-on alors dire des points G et G' ?


  • mtschoon

    BONJOUR ( un petit "Bonjour" fait plaisir )

    Une piste pour démarrer,

    $\text{\vec{GA}=\frac{2}{3}\vec{A'A}=\frac{2}{3}(\vec{A'B}+\vec{BA})=\frac{2}{3}(\frac{1}{2}\vec{CB}+\vec{BA})$

    Tu appliques la même méthode pour GB⃗\vec{GB}GB et GC⃗\vec{GC}GC

    Tu dois trouver :

    $\text{\vec{GB}=\frac{2}{3}(\frac{1}{2}\vec{AC}+\vec{CB})$

    $\text{\vec{GC}=\frac{2}{3}(\frac{1}{2}\vec{BA}+\vec{AC})$

    En ajoutant membre à membre , tu obtiendras la réponse demandée.

    Evidemment , vu que ABDC est un parallélogramme , tu peux aussi utiliser cette donnée pour décomposer les vecteurs.


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