Equations logarithme

Bonjour, j'ai des équations à résoudre et je ne sais pas comment procéder pour trouver les solutions. Pourriez vous m'aider svp?

Voici l'énoncé:

Résoudre dans R :

lnx+lny=1
lnx-2lny=-1
ln(x+2)≤2lnx
voici ce que je voulais faire pour la 2) :

on veut x+2>0 ⇔ x>-2 et 2lnx>0 ⇔ lnx>0
Donc D:]-2;0[

ln(x+2)≤2lnx ⇔ x+2≤x² ⇔ -x²+x+2≤0

Delta=9 donc √Delta=3
x1=-2
x2=-1

-2 et -1∈]-2;0[
Donc S:{.2;-1}

Bonjour,
Citation
2) ln(x+2)≤2lnx
voici ce que je voulais faire pour la 2) :

on veut x+2>0 ⇔ x>-2 et 2lnx>0 ⇔ lnx>0
Donc D:]-2;0[

ln(x+2)≤2lnx ⇔ x+2≤x² ⇔ -x²+x+2≤0

Delta=9 donc √Delta=3
x1=-2
x2=-1

-2 et -1∈]-2;0[
Donc S:{.2;-1}
Pourquoi tiens-tu à ce que ln x > 0 ?
C'est x qui doit être supérieur à 0.
De plus, tes racines sont fausses.
Enfin, tu fais comme si tu avais une égalité alors qu'il s'agit d'une inégalité.

Donc x> $e^0$ ?
x1= 2
x2= -1

Quelle est la différence? ...

Non : reprends tout
l'écriture ln(x+2) exige x+2 > 0 c'est-à-dire x > -2
l'écriture ln(x) exige x >0 (et si x >0, alors x > -2)
En résumé, le domaine est ]0;+∞[
Jusque là, ça va ?

oui

On continue.
ln(x+2)≤2lnx ⇔ x+2≤x² ⇔ -x²+x+2≤0
Oui, pourvu bien sûr que x > 0
Maintenant, recalcule les racines.

Je trouve la meme chose qu'au début ...:

-x²+x+2
le discriminant est égale a 9 car:
D=b²-4ac
D=(1)²-4*(-1)2=9
donc √D=3
et x1=-1-3/2(-1)=2
x2=-1+3/2*(-1)=-1

Non, au début tu trouvais -2 et -1
Ensuite, tu as effectivement trouvé 2 et -1.
Maintenant, attention : tu donnes S comme ensemble des solutions de -x²+x+2 = 0,
alors qu'il s'agit en réalité d'uneinéquation : -x²+x+2 ≤ 0
Tu dois donc étudier le signe du trinôme et voir pour quelles valeurs de x il est négatif ou nul.

il est négatif en ]-∞;-1[ et ]2;+∞[

Non.
Tu oublies deux chose :
a) l'inégalité est "au sens large" (pas très grave)
b) x doit être positif (ça c'est beaucoup plus important).

Ah oui, donc entre les racines soit ]-1;2[ (le sens des crochets est-il bon?)

Non.
Mais ta réponse est pire que la précédente : ton ensemble contient 0 et des valeurs négatives.
Le trinôme est négatif dans ]-∞;-1] ∪ [2;+∞[
Malheureusement, cet ensemble ne constitue pas la réponse car il contient des valeurs négatives, ce qui a été exclu.
Alors quel est le bon ensemble ?

et bien.. 0;2 ?

Tu veux dire ]0;2] ?
Choisis une valeur simple dans cet intervalle, par exemple x = 1, et regarde si -x²+ x +2 est négatif ou nul quand on remplace x par 1.

Ahh oui je vois pourtant je le sais mais je n'y pense pas. C'est positif si je remplace c'est égale a 4. Merçi beaucoup.

Non, on obtient 2 (et pas 4), mais c'est quand même positif alors qu'on veut un résultat négatif.
Je te rappelle :
Citation
Le trinôme est négatif dans ]-∞;-1] ∪ [2;+∞[
Malheureusement, cet ensemble ne constitue pas la réponse car il contient des valeurs négatives, ce qui a été exclu.Autrement dit, ]-∞;-1] ∪ [2;+∞[ serait la bonne réponse s'il n'y avait pas cette condition x >0.
Il faut en tenir compte, et il reste donc l'intervalle ...