Fonction exponentielle, centre de symétrie, distance


  • E

    Bonjour, je bloque sur un exercice et j'aurais besoin de votre aide :

    On considère la fonction : g(x)=(e^x-e^-x)/2
    et Cg la courbe representative de la fonction g

    Demontrez que Cg admet un centre de symetrie

    Ca j'ai montré que g(-x)=-f(x)
    Est ce que c'est suffisant pour demontrer qu'il y a un centre de symetrie ?

    Ensuite dans une seconde partie :
    On considère le point A du plan de coordonnées (1;0) et on s'interesse au minimum de la distance AM, sachant que M est un point appartenant a la courbe C d'equation : g(x)= (e^x-e^-x)/2

    M etant un point d'abscisse x de la courbe C , calculer en fonction de x, la distance AM
    Peut on m'aider pour demarrer ?
    Merci d'avance


  • mtschoon

    Bonjour,

    Je pense que tu as voulu écrire : g(-x)=-g(x) , pour tout x réel.

    Donc g impaire donc O centre de symétrie.

    Pour la suite :

    $\text{am=\sqrt{(x_m-x_a)^2+(y_m-y_a)^2}$

    xMx_MxM est x
    xAx_AxA vaut 1
    yMy_{M }yMest g(x)
    yAy_{A }yAvaut 0

    Tu remplaces


  • E

    Je trouve racine de (1-x)²+((e^x-e^-x)/2)²


  • mtschoon

    C'est bien ça.


  • E

    Mais comment savoir qu'il s'agit du minimum de la distance AM ?


  • mtschoon

    Vu la question , tu étudies les variations de cette fonction "distance" pour en déduire le minimum.


  • P

    Salut

    Voici quelques explications supplémentaires sur une une fonction ggg donnée dite IMPAIRE:

    Si on a g(−x)=−g(x)g(-x)=-g(x)g(x)=g(x) pour tout xxx de r\mathbb{r}r (ou du domaine de définition dgd_gdg) alors :

    • on dit que la fonction g est IMPAIRE
    • et "le graphe" cgc_gcg est symétrique par rapport au point O (symétrie centrale)

    Alors :

    1) on peut étudier la fonction ggg uniquement pour tous les $x > 0$

    2) Pour tous les point M de cgc_gcg d'abscisse xm≥0x_m \ge 0xm0 ( le point M a pour coordonnées ( xmx_mxm ; g(xmg(x_mg(xm) )

    alors le point M' de coordonnées ( −xm-x_mxm ; g(−xm)g(-x_m)g(xm) ) appartient àcgc_gcg

    et O est le milieu du segment [M , M']


  • E

    En etudiant les variations, je trouve que
    pour 1-x la fonction est croissante de - l'infini a 1 et decroissante de 1 a + l'infini
    Une fonction exponentielle est toujours positive donc cela ne change pas
    Dans la fonction est croissante de - l'infini a 1 et decroissante de 1 a + l'infini, et la je ne peux avoir qu'en extremum un maximum


  • E

    c'est juste pour ma fonction ?


  • mtschoon

    La formule de la fonction "distance" est juste ( je te l'ai déjà dit )

    Pour étudier les variations d'une fonction , tu dois calculer la dérivée et le signe de la dérivée.

    Peut-être as-tu des questions précédentes qui sont utilisables car c'est un peu surprenant qu'une fonction s'appelle g ; en principe , c'est f .

    Eventuellement , donne le début de l'énoncé et les questions précédentes ( s'il y en a )


  • E

    Voici l'exercice entier ;
    On considère la fonction : g(x)=(e^x-e^-x)/2
    et Cg la courbe representative de la fonction g

    Demontrez que Cg admet un centre de symetrie

    Etudier la limite de g en + l'infini et les variations de f sur l'intervalle 0 a + l'infini

    Partie b :
    On considère le point A du plan de coordonnées (1;0) et on s'interesse au minimum de la distance AM, sachant que M est un point appartenant a la courbe C d'equation : g(x)= (e^x-e^-x)/2

    1)M etant un point d'abscisse x de la courbe C , calculer en fonction de x, la distance AM
    Je trouve comme dérivée 2x-2+2(e^x+e^-x)
    Est ce correct ?


  • mtschoon

    Le 1) de la partie b) est fait en donnant l'expression de la distance.

    Tu n'as rien à faire d'autre .

    Non , la formule de la dérivée n'est pas bonne mais elle n'est pas simple cette dérivée ! Elle n'est pas demandé au 1)

    Donne , avec rigueur , la suite de l'énoncé . 2) éventuellement 3) ...


  • E

    Donc c'est le minimum, il y a rien a faire de plus ?
    Dans le 2 on dit : f(x)=(x-1)²+(e^x-e^-x)²/4
    2)calculer sa dérivée
    3) Calculer la derivée de la dérivée
    En deduire les variations de f' sur R


  • mtschoon

    A la 1) , en fonction de x , tu as calculé la distance AM : c'est tout.

    Il n'est pas question de minimum.

    1. f(x)=AM²

    L'énoncé te fait travailler sur AM² au lieu de AM , car cela facile les calculs et cela ne change rien à la logique de l'exercice .

    Calcules donc f'(x)

    Tu dois trouver :

    f′(x)=2(x−1)+12(ex−e−x)(ex+e−x)f'(x)=2(x-1)+\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})(e^x+e^{-x})f(x)=2(x1)+21(exex)(ex+ex)

    Tu peux développer , simplifier , pour améliorer un peu cette expression.

    Comme il n'est pas possible directement d'étudier son signe , l'énoncé te demande ensuite de calculer f"(x) .


  • E

    oui mais on cherche le minimum de AM


  • mtschoon

    Lorsque tu auras le minimum de f(x) , tu auras le minimum de AM²

    En prenant la racine carrée de ce minimum de AM² , tu obtiendras le minimum de AM.


  • E

    Donc il faut que j'enleve la racine carré alors?
    La reponse n'est pas fini, il faut etudier le signe de la dérivée ?


  • mtschoon

    g(x)=AM ( il y a la racine carrée )

    f(x)=AM² ( il n'y a pas la racine carrée )

    Comme je te l'ai déjà indiqué , par souci de commodité , ton énoncé te fait travailler sur f(x) .

    Lorsque tu auras obtenu la valeur , que je note a , du minimum de AM² ( c'est à dire f(x) ) , le minimum de AM ( c'est à dire g(x) ) sera √a .


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