Des matrices avec cos et sin... un régal !

Coucou à tous ! Je viens recquérir votre aide précieuse dans la résolution d'un exo qui me donne pas mal de fil à retordre.

Il est question d'un sous-ensemble E de M2(C) formé de matrices de la forme :

M(θ)= (cos(θ) sin(θ))
(-sin(θ) cos (θ))
(Impossible d'aligner les deux lignes, je suis désolée !!)

On me demande de montrer que E est stable par la multiplication matricielle. J'ai résolu cette question mais ne suis pas sûre de ma réponse, j'ai montré que E était de la même forme que M(θ).

Ensuite on me demande si E est stable pour l'addition matricielle, et je trouve qu'il l'est, est-ce bien cela ?

Mais ce n'est pas tout chers amis... la question qui me pose le plus de fil à retordre arrive !
Il me faut prouver que pour tout entier n de N, ((M(θ))^n)=M(nθ)

J'ai essayé de procéder avec la formule de Moivre mais je ne vois pas comment faire, ai-je le droit de poser par exemple : ligne 1 de la matrice=cos(θ)+sin(θ) ?
Car en fait cela m'arrangerait hihi

Merci d'avance à ceux qui prendront du temps pour me répondre et m'aider !

Bonsoir,

Pour la stabilité de E pour la multiplication matricielle:

Tu prends deux matrices M(θ) et M(Θ')

Tu les multiplies avec la méthode usuelle .

En utilisant les formules d'addition , tu as dû trouver :

$\text {m(\theta) x m(\theta') = m(\theta+\theta')$

La réponse est donc OUI

( vérifie tes calculs si besoin )

Pour la stabilité de E pour l'addition matricielle:

$\left(\ \cos\theta\ \sin\theta\-\sin\theta\ \cos\theta \right)+\left(\ \cos\theta'\ \sin\theta'\-\sin\theta'\ \cos\theta' \right)=\left(\ \cos\theta+\cos\theta'\ \sin\theta+\sin\theta'\-\sin\theta-\sin\theta'\ \cos\theta+\cos\theta' \right)$

Pour la stabilité , il faudrait :

$\text{ \cos\theta+\cos\theta'=\cos \alpha\ et \sin\theta+\sin\theta'=\sin\alpha$

La réponse est NON

( Par exemple , pour cos θ =1 et cos θ'=1 , cos α =2 Impossible).

Pour ta dernière question , fais une récurrence.