fonction de IN vers IN prob


  • R

    f est une fonction de IN vers IN telle que:
    f(1)≠0
    (∀(n,m)∈IN²) f(n² + m²)=(f(n))² + (f(m))²

    1. calculer f(k) ; 0≤k≤13
    2. montrer que f(n) = n (∀ n∈IN)

    j'ai pu montrer que f(k)=k pour 0≤k≤13


  • M

    Bonjour,
    Détaille comment tu as calculé f(7), f(11).
    Peut-être pourras-tu généraliser.


  • R

    f(50)=f(5² + 5²)=f(5)²+ f(5)²=50
    et aussi:
    f(50)=f(1 + 7²)=f(1)+ f(7)²=1+f(7)²
    donc f(7)²=50-1=49=7²
    ⇒f(7)=7
    pour k=11:
    125=100+25=4+121
    donc
    f(11)²+f(2)²=f(10)²+f(5)²
    ce qui donne:
    f(11)=11


  • M

    Il y a en effet plusieurs façons de calculer f(7) ou f(11) ou f(12) ou f(13) ...
    Mais l'une d'entre elles peut se généraliser pour n ≥ 14 ( puisque tu as établi la propriété jusqu'à 13).
    Pour commencer, touve une identité "remarquable" (pas facile à deviner sans aide !) :
    (5a + 2b)² + b² = (...)² + (....)²
    les nouvelles parenthèses étant évidemment différentes des premières (sinon aucune utilité).


  • R

    Merci Mr mathtous
    je vais essayer de trouver cette identité


  • M

    Tu peux t'aider pour dela d'un résultat bien connu : 5² = 3² + 4²
    Donc 25a² = 9a² + 16a²
    Et puis tu tentes de compléter.

    Attention : j'ai corrigé une erreur (désolé : pas fait attention) :
    C'est (5a + 2b)²


  • R

    merci tres bien
    c'est ca l'identité:

    (5a + 2b)² + b² = (3a + 2b)² + (4a + b)²


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