3. DM Inégalités triangulaires

DM Inégalités triangulaires

  • A

    Bonjour à tous,

    J'ai un DM et je ne sais pas si j'ai bon .

    Voici le sujet :

    1. Soit a, b, c et d des nombres réels.
      Démontrer que si a b et c d, alors a+c b + d

    2. Soit x un réel quelconque. Prouver que x l x l

    3. Soit x et y deux réels quelconques.
      a) Démontrer que x+y l x l + l y l
      b) En remarquant que -(x + y) = (-x) + (-y), démontrer que :
      -(x + y) l x l + l y l.

    4. Déduire de la question précédente que :

    l x + y l l x l + l y l

    Cette inégalité s'appelle triangulaire.

    Piste: Pour la quest 3) a) , on pourra utiliser les quest 1) et 2)

    Voici ce que j'ai fais :

    1. On sait que a<= b et c<= d . On a :
      a<=b
      a+c <= b+c Or, c <= d et donc b+c <= b+d et donc a+c <= b+c <= b+d et donc a+c <= b+d

    2. x>0 abs(x)=x donc x<=abs(x)
      x<0 abs(x)>0 donc x<=abs(x)
      donc pour tout x x<=abs(x)

    3)a) On sait que x <= |x| ET y <= |y| , alors x + y <= |x| + |y|

    3)b) en partant de : x + y<= |x| + |y|
    puisque cette relation est vraie pour tous x et y
    elle est vraie également pour -x et -y, donc :
    donc -x + -y <= |-x| + |-y|
    <--> - (x + y) <= |-x| + |-y|
    <--> - (x + y) <= |x| + |y|

    1. sachant que :

    x + y <= |x| + |y| ET -(x+y) <= |x| + |y|

    alors

    |x + y| <= |x| + |y|

    Voila, mais je me demande si dans le développement je n'ai rien oublié de préciser surtout pour la 3)a) et la 4) car c'est un peu court.

    Merci de bien vouloir m'aider

    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    Bonsoir aprer,

    L'ensemble est correct.

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