Dérivation d'une fonction exponentielle


  • V

    Bonjour, je suis bloquer à une question d'un exercice à faire, pourtant ça parait facile..

    voici la question :
    Soit la fonction F(x)= xexex+1\frac{xe^x}{e^x+1}ex+1xex
    sur R,

    • montrer que F'(x)= ex∗g(x)(ex+1)2\frac{e^x*g(x)}{(e^x+1)^2}(ex+1)2exg(x)
      (sachant que g(x)=e^x+x+1)

    Voici ce que j'ai fais:
    J'ai d'abord appliquer la formule (uv)=(u'v+uv') pour le numérateur de la fraction
    avec u= x et u'=1
    et avec v=e^x et v'=e^x
    donc on a (1
    e^x)+(x*e^x)= e^x+xe^x

    Jai appliquer ensuite la formule (uv)′\left( \frac{u}{v}\right)'(vu) pour la fonction f

    = [(e^x+xe^x)(e^x+1)-(xe^x)(e^x)]/(e^x+1)²
    = [(e^x)²+(x(e^x)²)+a^x+xe^x]-[x(e^x)²] /(e^x+1)² ??


  • mtschoon

    Bonsoir,

    Tes écritures sont difficiles à lire et il y a un "a" ? faute de frappe je suppose.

    Je te mets les principaux éléments :

    u(x)=xexu(x)=xe^xu(x)=xex
    u′x)=ex+xex=ex(1+x)u'x)=e^x+xe^x=e^x(1+x)ux)=ex+xex=ex(1+x)
    v(x)=ex+1v(x)=e^x+1v(x)=ex+1
    v′(x)=exv'(x)=e^xv(x)=ex

    En utilisant la dérivée d'un quotient :

    f′(x)=ex(1+x)(ex+1)−x(ex)2(ex+1)2f'(x)=\frac{e^x(1+x)(e^x+1)-x(e^x)^2}{(e^x+1)^2}f(x)=(ex+1)2ex(1+x)(ex+1)x(ex)2

    Tu commence à mettre exe^xex en facteur :

    f′(x)=ex[(1+x)(ex+1)−xex](ex+1)2f'(x)=\frac{e^x[(1+x)(e^x+1)-xe^x]}{(e^x+1)^2}f(x)=(ex+1)2ex[(1+x)(ex+1)xex]

    Tu développes la quantité entre crochets et tu la simplifies .

    Tu dois trouver :

    f′(x)=ex[ex+x+1](ex+1)2f'(x)=\frac{e^x[e^x+x+1]}{(e^x+1)^2}f(x)=(ex+1)2ex[ex+x+1]

    d'où la réponse.


  • V

    ahh j'ai compris! merçi


  • mtschoon

    De rien !


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