Démontrer de deux façons qu'un nombre est divisible par 7

Bonsoir,
j'ai un dm de spé a rendre pour jeudi mais je bloque sur le dernier exercice.
Voilà l'énoncé :
Démontrer de deux façons que, pour tout entier naturel n, l'entier 29^n-92^n est divisible par 7.
Merci d'avance !

Bonjour,

Exploite deux méthodes :

1ere méthode : congruences [7]

2eme méthode : récurrence

Merci pour ta réponse. Je dois dire que 9 congru à 2 modulo 7 ?

Oui , ton départ est bon pour la méthode avec les congruences.

Utilise ensuite les proprités de ton cours sur les congruences .

$\equiv 2\ [7]$
$[7]2^n\equiv2^n\ [7]$

donc :
$[7]9.2^n\equiv2.2^n\ [7]$
$[7]9.2^n\equiv2^{n+1}\ [7]$

Tu continues ( et ça marche très bien )

Je dois arriver à 29^n-92^n est congru à 0 modulo 7 ?

2≡9(7)
9^n≡9^n(7)
Donc
2×9^n≡9×9^n(7)
2×9^n≡9^n+1(7)
C'est ça ?

Presque .

Ta réponse ne permettra pas de trouver directement ( avec la transformation que je t'ai effectuée ) $[7]2.9^n-9.2^n\equiv 0\ [7]$

Transforme un peu mieux.

Il faut que j'arrive à 2× $9^n$ ≡ $2^{n+1}$ (7)?

J'ai peut-être trouvé !
2≡2(7)
$9^n$ ≡ $2^n$ (7)
Donc 2× $9^n$ ≡ $2^{n+1}$ (7)

Donc par transitivité,
2× $9^n$ ≡9× $2^n$ (7)
2× $9^n$ -9× $2^n$ ≡0(7)
Soit 2× $9^n$ -9× $2^n$ est divisible par 7.
C'est correct ?

Le terme "transitivité" me gène un peu ici , mais la méthode est correcte.
Bravo!

Merci
Je dois le montrer d'une deuxième façon ; vous me conseillez la récurrence.
Je le prouve au rang n=2 pour l'initialisation mais au rang n+1 que dois-je faire ?

Pour la transmission , tu utilises la méthode usuelle.

Tu supposes que :

$2.9^n-9.2^n=7k$ , avec k entier

Avec cette hypothèse , tu démontres que :

$2.9^{n+1}-9.2^{n+1}=7k'$ , avec k' entier

Désolé mais qu'est-ce que la transmission ?

Ton professeur te dit peut-être "hérédité" au lieu de "transmission" ou il ne dit rien...

Oui hérédité.
Ça donne
2. $9^n$ -9. $2^n$ =7k
n=2
2. $9^2$ -9. $2^2$ =7k
126=7k
k=18

2. $9^n$ -9. $2^n$ =7k'
$18 (9$ ^{n+1} $2^{n+1}$ )=7k'
18(9-2)=7k'
k'=18

OK pour l'initialisation pour n=2 ( avec k=18 )

Pour l'hérédité , revois le principe.

n est une valeur entière quelconquesupérieure ou égale à 2 vérifiant $2.9^n-9.2^n=7k$ avec k appartenant à Z

Il ne faut pas donner à n une valeur précise.

Je dois trouver k pour l'hérédité ?

Tu dois trouver k'

Comment je le trouve sans une valeur ?

Si tu n'as pas très bien compris ton cours , tu peux regarder un exemple ici :

http://www.webclasse.fr/TerminaleS/suites/recurrence/exemple1.html

Merci, je m'y mets !

Je bloque dès le début...
Après 2. $9^{n+1}$ -9. $2^{n+1}$ =7k , je ne sais pas quoi faire.

$2.9^{n+1}-9.2^{n+1}=9.2.9^n-9.2^{n+1}=9(2.9^n-2^{n+1})$

Ensuite , grace à l'hypothèse (formule à l'ordre n ) , tu peux extraire 2. $9^n$ .
Tu remplaces cette expression dans le nouveau calcul et tu finiras par pouvoir mettre 7 en facteur.

J'arrive à $63k+2^n$ (81-18) ce qui fait $63k+2^n$ .63 égal à $k+2^n$
C'est bon ?

Ton calcul est bon mais fais attention à k'

$2.9^{n+1}-9.2^{n+1}=63k+63.2^n=7(9k+9.2^n)$

donc k'=..........

k'=9k+9. $2^n$ ?

oui ! ( et tu expliques que k' est entier )

Merci beaucoup pour le temps passé à m'aider !
Bonne soirée.

De rien , et bonne soirée à toi !