Arithmétique-Congruences


  • L

    Bonjour !

    Pourriez-vous m'aider pour mon exercice sur les congruences :

    Soit (E) l'équation x²-7y²=0 où x et y sont deux entiers.
    1/ Justifier que si le couple (x;y) est solution de (E) alors x=3[7]
    2/ Détermiber les restes possibles de x² par 7
    3/ L'équation (E) a-t-elle des solutions ?

    Je bloque dès la première question...
    Certes x=√7 y, mais ça ne m'avance pas trop je crois.

    Merci d'avance pour votre aide


  • mtschoon

    Bonsoir,

    Cet énoncé n'est pas bon..tu devrais revoir l'équation (E)

    Avec l'équation (E) que tu as donnée , la question 1) devient inexacte car x≡0[7] convient.


  • L

    Mon énoncé est pourtant bon (du moins c'est ce que mon prof m'a donné) ...
    Effectivement avec 0 au lieu de 3, l'exercice marcherait mais malheureusement je n'ai pas ça ...


  • mtschoon

    Effectivement , avec x2−7y2=3x^2-7y^2=3x27y2=3 , l'exercice aurait un sens pour conclure que (E) n'a pas de solutions entières mais à la question 1) il aurait fallu indiquer :
    x2≡3[7]x^2 \equiv 3 [7]x23[7] ...

    Je ne vois pas d'autre solution que demander à ton professeur de revoir l'énoncé.


  • L

    Merci pour cette première réponse 🙂
    Et si on disait que x est congru à 0 modulo 7, ça marcherait ?
    (Sinon, je pense que je vais vérifier avec mon professeur^^)


  • mtschoon

    Citation
    je pense que je vais vérifier avec mon professeur

    C'est la seule chose à faire !

    Pour chercher les entiers tels que x²-7y²=0 les questions posées ne servent à rien ! ! !

    Raisonne simplement : x²=7y²

    Pour y=0 , tu obtiens x=0 ( 0 est bien un multiple de 7 , pour faire le lien avec la question 1)

    Donc le couple (0,0) est solution

    Pour y≠0 , on peut diviser par y²

    x2y2=7\frac{x^2}{y^2}=7y2x2=7

    Deux cas : xy=7 ou xy=−7\frac{x}{y}=\sqrt 7 \ ou\ \frac{x}{y}=-\sqrt 7yx=7 ou yx=7

    Dans chacun des deux cas , le membre de droite est irrationnel

    x et y cherchés étant entiers , xy\frac{x}{y}yx est rationnel

    Les égalités sont impossibles.

    Le seul couple-solution est le couple trivial (0,0)


  • L

    Bonsoir !

    J'ai eu la réponse de mon professeur. Il m'a dit que l'équation devrait être égale à 3 et non à 0. Mais au final, il nous a dit de ne pas le faire ... voilà !


  • mtschoon

    C'est bien l'analyse faite : avec 3 l'exercice avait un sens...

    Merci Laula d'avoir pensé à donner la conclusion .

    Peut-être qu'au prochain exercice , il n'y aura pas d'erreur d'énoncé.


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