Montrer qu'une suite est positive

Bonjour à tous ! Je suis face à un dm qui me donne beaucoup de fil à retordre

Voici ce qui me pose problème.
Soient a et b deux réels tels que 0<a<b. On définit deux suites (Un) et (Vn) par u0=a, v0=b et pour tout n positif, U(n+1)= 2UnVn / Un+Vn et V(n+1)= Un+Vn / 2

Montrer que pour tout entier naturel, 0<Un

Je pense pouvoir donner la monotonie sans trop de mal, mais en ce qui concerne la première partie de la question j'ai besoin d'aide. J'ai essayé de calculer U(n+1)/Un et U(n+1)-Un mais aucun des deux ne m'amène à comprendre si Un est une suite géométrique ou arithmétique (même chose pour Vn) ! Il faudrait que vous m'aiguilliez de façon à ce que je connaisse la raison de façon à déterminer Un et Vn.

Merci d'avance à ceux qui prendront du temps pour m'aider

Bonsoir,

Je ne suis pas trop sûre d'avoir compris ta préoccupation.

C'est pour démontrer que que pour tout n de N : Un > 0 ?

Si c'est cela fait une récurrence sur (Un) et (Vn) )à la fois.

Initialisation U0 > 0 et V0 > 0 VRAI car a > 0 et b > 0

Transmission : tu supposes qu'à un ordre n de N : Un > 0 et Vn > 0

Tu prouves ( sans difficulté ) que Un+1 > 0 et Vn+1> 0

Oh mince, je vois que j'ai fait une faute de frappe, du moins une partie ne s'est pas écrite !

Je voulais écrire : Montrer que 0<Un<Vn !
J'espère que tu pourra m'aider

Si j'ai compris ta seconde requête , tu veux démontrer maintenant que pour tout n de N : Un < Vn

(Tu sais déjà , avec les calculs précédents que : Un > 0 et Vn > 0)

Tu fais une récurrence

Initilisation évidente .

Transmission

A un ordre n de N , tu supposes que $un−vn<0u_n -v_n \lt 0$

Tu veux démontrer que $un+1−vn+1<0u_{n+1}-v_{n+1}\lt 0$

Après calculs , sauf erreur , tu dois trouver que :

$vn+1−un+1=(un−vn)22(un+vn)v_{n+1}-u_{n+1}=\frac{(u_n-v_n)^2}{2(u_n+v_n)}$

Tu transformes un peu :

$\fbox{v_{n+1}-u_{n+1}=\frac{u_n-v_n}{u_n+v_n}\ \times\ \frac{u_n-v_n}{2}}$

Vu que $vn>0u_n \gt 0 \ et \ v_n \gt 0$ , tu peux dire que :

$un−vnun+vn<1-v_n \lt v_n\ donc\ u_n-v_n \lt u_n+v_n \ donc \ \frac{u_n-v_n}{u_n+v_n} \lt 1$

Donc :

$vn+1−un+1<un−vn2v_{n+1}-u_{n+1} \lt \frac{u_n-v_n}{2}$ donc...............( la fin me semble évidente )

Oh merci que c'est gentil de prendre du temps pour m'aider !!! Merci mille fois. Je suis juste passée voir si j'avais obtenu une réponse, je travaille cela ce soir et je trouve la fin Merci encore, je repasserai donner des nouvelles du fameux dm

C'est avec plaisir que nous aidons !

Bon travail ce soir pour la fin de ton DM !