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Modéré par: Thierry, Noemi, mtschoon
Fin 

DM sur fonctions exponentielle

  - catégorie non trouvée dans : Terminale
Envoyé: 10.12.2005, 11:18

Constellation
Misti

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bonjour
voilà mon sujet (en italique= énoncé, écriture normale=mes résultats)

dans un exercice précedent, j'ai prouvé que les fonctions définies par Un=1+(1/1!)+(1/2!)+...+(1/n!)
et que Vn=Un+1/(n.n!) étaient adjacentes et admettent la même limite l.
le but du problème est de prouver que cette limite est égale à e (exponentielle)

1°) n étant un entier naturel fixé, on considère la fonction définie par f(x)=(1+(1/1!)+(1/2!)+..+(1/n!))e -x

a°) calculer f(0) et vérifier que f(1)=Un/e

f(0)=Un*e-0 =Un
f(1)=Un*e-1 =Un/e

b°) montrer que f est dérivable sur [0;1] et calculer sa dérivée
la fonction exponentielle est dérivable sur R, Un n'ayant pas de variable, elle est dérivable, donc F est dérivable sur R donc sur [0;1] f'(x)= -e-x *Un = -f(x)

c°) en déduire que Un <= e
c'est là que je bloque, je n'arrive pas à en deduire...je pense qu'il faut que je trouve que Un/e <= 1 mais je n'y arrive pas
merci pour votre aide
Misti
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Envoyé: 11.12.2005, 09:39

Constellation
Misti

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personne ne trouve de solutions???
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Envoyé: 11.12.2005, 15:40

Constellation
Misti

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j'ai oublié de préciser...Un et Vn tendent vers l env= 2.7


merci d'avance pour votre aide
Misti
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Envoyé: 11.12.2005, 20:21

Cosmos
flight

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re ....

En reprenant les notations du théorème des accroissements finis, nous savons que f(b)-f(a)/(b-a)=f'(µ) , avec a<µ<b . Ainsi si la fonction dérivée f' peut être encadrée sur ]a,b[ par m et M , c'est à dire que , nous avons pour tout x appartenant à ]a,b[,m<=f'(x)<=M,alors nous pouvons écrire la (double) inégalité des accroissements finis :

m<=(f(b)-f'a))/(b-a)<=M c'est du cours


dans ton cas b=1 et a=0 de plus tu a les valeurs de f(1) et f(0) , tu connais de plus l'expression de la dérivé de f ; (f'=-f), le majorant de la dérivée est donné par M=e c'est justement la limite de convergence de f quand f tend vers l'infini

voila tu a une bonne piste pour conclure, dumoins je l'éspère





flight721
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Envoyé: 11.12.2005, 20:23

Cosmos
flight

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oula ! il manque des choses dans mon post ! bizzare!! certaines de mes phrases sont perdues...????

bon... tu verra l'essentiel apparaitre quand meme pour ce dont tu a besoin

fais signe si tu coince


a+


flight721
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Envoyé: 11.12.2005, 20:45

Cosmos
flight

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il manque un morceau dans mon post,... En reprenant les notations du théorème des accroissements finis, nous savons que f(b)-f(a)/(b-a)=f'(µ) , avec a<µ<b et val absolu f'(x)<=M,alors nous pouvons écrire la (double) inégalité des accroissements finis :

m<=(f(b)-f'a))/(b-a)<=M c'est du cours.


voila j'espère que l'integralité de ce message te parviendra


flight721
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Envoyé: 11.12.2005, 20:46

Cosmos
flight

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....ba non !!! encor! ....j' y comprend rien


flight721
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Envoyé: 11.12.2005, 20:49

Constellation
Misti

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je me disais bien qu'il y avait un problème de plus...je vous avoue que je suis encore perdue.
pourquoi (mu)???
si j'applique se que vous avez écrit, j'ai (Un/e)-Un <= e déjà là, je ne comprend pas comment on trouve M=e icon_lol

merci beaucoup
Misti
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Envoyé: 11.12.2005, 21:06

Constellation
Misti

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j'ai regarder un peu de mon coté
j'ai f(1)-f(0) <= f'(0)
(Un/e) - Un <= -Un
(Un/e) <= 0

et là je bloque....
icon_mad
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Envoyé: 15.12.2005, 21:15

Constellation
Misti

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bonjour, en fait, mon professeur de math s'est trompé dans l'énoncé, voici le nouvel énoncé(les changements en rouge), sans faute:
(en italique= énoncé, écriture normale=mes résultats)

dans un exercice précedent, j'ai prouvé que les fonctions définies par Un=1+(1/1!)+(1/2!)+...+(1/n!)
et que Vn=Un+1/(n.n!) étaient adjacentes et admettent la même limite l.
le but du problème est de prouver que cette limite est égale à e (exponentielle)

1°) n étant un entier naturel fixé, on considère la fonction définie par
f(x)=( 1+( x/1! )+( x^2/2! )+..+( x^n/n! ))e^-x

a°) calculer f(0) et vérifier que f(1)=Un/e

f(0)=1
f(1)=(1+ (1/1!) + (1/2!)+....+ (1/n!)) e^-1= Un/e

b°) montrer que f est dérivable sur [0;1] et calculer sa dérivée
la fonction f est dérivable car c'est une composition de 2 fonctions dérivables, donc f est dérivable sur R donc sur [0;1]
f'(x)= - x^n / (n!.e^x)

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Envoyé: 15.12.2005, 21:58

Cosmos
Zorro

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Il faut chercher le signe de f'(x) sur [0;1]

Tu en détermines le sens de variation de f sur [0;1]

donc tu peux comparer f(0) et f(1) et trouver ce qu'il faut Un<= e

A demain ou à ce soir la suite ... parce que il doit y avoir une suite (du genre e irrationel !!)
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Envoyé: 18.12.2005, 11:31

Constellation
Misti

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dernière visite: 27.05.06
j'ai réussi a faire e >= Un >= e-(e/n!)

j'avais prouvé dans un exo que Un -> l

il faut maintenant que je prouve que l=e

merci pour votre aide
Misti icon_rolleyes
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Envoyé: 18.12.2005, 13:30

Cosmos
Zorro

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dernière visite: 10.01.16
Tu as donc e -(e/n!) <= Un <= e

et (e/n!) aurait peut-être une limite interessante quand n tend vers l'infini
Top 
Envoyé: 18.12.2005, 13:49

Constellation
Misti

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dernière visite: 27.05.06
a oui, qd n -> inf/ ; (e/n!) -> 0
donc Un -> e

icon_razz
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Envoyé: 19.12.2005, 09:54

Constellation
Misti

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dernière visite: 27.05.06
c'est la bonne réponse???
merci icon_smile



modifié par : Misti, 18 Déc 2005 @ 20:54
Top 
Envoyé: 19.12.2005, 11:57

Modérateur
Zauctore

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dernière visite: 07.03.13
Oui. c'est un théorème d'encadrement des limites
lim (e -(e/n!)) <= lim Un <= lim e, quand n -> +inf/
donc Un -> e.
Top 
Envoyé: 19.12.2005, 12:01

Constellation
Misti

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dernière visite: 27.05.06
merci bcp
bonne vacance...bonne fête...
Misti icon_razz
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