Loi de groupe Commutativité
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Eeas dernière édition par
Bonjour, j'ai un exo à faire, et je n'arrive pas du tout à faire
Soit (G,.) un groupe tel que tout couple (a,b) d'éléments de G vérifie (ab)²=a²b². Montrer que G est commutatifQuelqu'un pourrait m'aider svp ?
Merci
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mtschoon dernière édition par
Bonjour,
Idée , mais détaille plus ou moins en fontion de ton cours.
Pour tout a et pour tout b de G :
(a.b)2=a2.b2(a.b)^2=a^2.b^2(a.b)2=a2.b2
Cela veut dire que : (a.b).(a.b)=(a.a).(b.b)(a.b).(a.b)=(a.a).(b.b)(a.b).(a.b)=(a.a).(b.b)
En utilisant l'associativité , tu peux écrire :
a.(b.a).b=a.(a.b).ba.(b.a).b=a.(a.b).ba.(b.a).b=a.(a.b).b
En appelant a−1a^{-1}a−1 le symétrique de a et e l'élément neutre , tu peux écrire ( en multipliant à gauche par a−1a^{-1 }a−1):
a−1.[a.(b.a).b]=a−1.[a.(a.b).b]a^{-1}.[a.(b.a).b]=a^{-1}.[a.(a.b).b]a−1.[a.(b.a).b]=a−1.[a.(a.b).b]
[a−1.a].[(b.a).b]=[a−1.a].[(a.b).b][a^{-1}.a].[(b.a).b]=[a^{-1}.a].[(a.b).b][a−1.a].[(b.a).b]=[a−1.a].[(a.b).b]
e.[(b.a).b]=e.[(a.b).b]e.[(b.a).b]=e.[(a.b).b]e.[(b.a).b]=e.[(a.b).b]
D'où : (b.a).b=(a.b).b(b.a).b=(a.b).b(b.a).b=(a.b).b
En appelant b−1b^{-1}b−1 le symétrique de b, et en multipliant à droite par b−1b^{-1}b−1 , avec la même manipulation , tu trouveras : b.a=a.bb.a=a.bb.a=a.b , d'où la réponse .