Reste de 2^n dans la division euclid. par 5

Bonsoir à tous,

Alors voilà, j'ai un DM pour après demain à finir, et je bloque sur un petit truc...
Nous travaillons les congruences dans Z et les divisions euclidienne.

Question: Pour tout n, déterminez le reste dans la division euclidienne de $2^n$ (2 puissance n) par 5.

J'ai noté bêtement que $2^n$ est congru à $2^n$ modulo 5. $2^n$ ≡ $2^n$ (5))

Mais est-ce qu'il n'y a pas moyen de faire plus simple, de simplifier tout ça ?

Merci beaucoup pour vos réponses

Bonjour,

Une piste possible pour organiser le travail,

Sauf si ton exercice a des questions préalables qui te mettent sur la voie , tu peux commencer par conjecturer la réponse en calculant quelques cas simples .

n....... $2^n$ .......reste de la division de $2^n$ par 5
0.......1............................1
1.......2............................2
2.......4............................4
3.......8............................3
4.......16..........................1
5.......32..........................2
6.......64..........................4
7.......128........................3
8.......256........................1
etc

Tu dois constater que les restes sont 1,2,4,3 de façon périodique ( période 4)

Il te reste à le démontrer :

Tu prouves que , pour tout n , $2^{n+4 }$ a même reste que $2^n$ par la division par 5 ( tu peux utiliser les propriétés des congruences ) et tu déduis la conclusion générale :
Pour n $≡\equiv$ 0 [4] , le reste est 1
Pour n $≡\equiv$ 1 [4] , le reste est 2
Pour n $≡\equiv$ 2 [4] , le reste est 4
Pour n $≡\equiv$ 3 [4] , le reste est 3

Bons calculs .