QCM limites de fonctions


  • C

    Bonjour à tous ! J'ai un exo à faire pour demain et le truc c'est que je me retrouve coincé aux deux dernieres questions ,donc un peu d'aide ne me ferait pas de mal ! 🙂

    1. La droite d'équation x=1 est asymptote à la courbe de g pour g définie par : a) g(x)=1-x/x-1 ; b) g(x)=√(-x-4)/x-1 ou c) g(x)=1/√(2x-2) ?

    Je sais que ceci est vrai pour limx→1lim_{x→1}limx1g(x)=+∞ mais le problème c'est ça me donne des formes indéterminées et je ne sais pas trop comment faire ...

    1. La droite d'équation y=1/2 est asymptote à la courbe de h pour h définie par : a) h(x)=2x+1/x²+1 ; b) h(x)=x-1/2x²+1 ou c) h(x)=√(x²+x+1)-x .

    Je sais qu'il faut faire limx→+∞lim_{x→+∞}limx+h(x)-1/2=0 . Donc j'ai obtenu , limx→+∞lim_{x→+∞}limx+h(x)-1/2=-1/2 pour la a) , donc cette réponse est à exclure .
    Ensuite j'ai obtenu un résultat similaire pour la b) donc elle est également à exclure mais je me retrouve coincé au niveau de l'indétermination pour la c) , qui je pense est la bonne réponse .

    Merci à tous ceux qui passeront par là 😉


  • N
    Modérateurs

    Bonjour Chaus'sette,

    1. factorise pour supprimer la forme indéterminée.
    2. Calcule la limite de h(x) - 1/2.

  • C

    Merci Noémi pour la 1) mais pour la 2) c'est ce que j'ai fait mais j'obtiens ça : limx→+∞lim_{x→+∞}limx+ (√(x²+x+1) - x )(√(x²+x+1)+x) / √(x²+x+1)+x - 1/2
    donc limx→+∞lim_{x→+∞}limx+ x²+x+1-x² / √(x²+x+1)+x -1/2
    donc limx→+∞lim_{x→+∞}limx+ x+1 / √(x²+x+1) -1/2
    Or ceci ne tend pas vers 0 !! :S


  • N
    Modérateurs

    Tu as oublié un x au dénominateur .


  • C

    Effectivement mais cela ne change rien à la limite qui ne tend pas vers 0 nop' ?


  • N
    Modérateurs

    Tu dois trouver 0,

    Indique tes calculs; Mets x en facteur.


  • C

    après utilisation de la quantité conjuguée j'obtiens : limx→+∞lim_{x→+∞}limx+ h(x)-1/2 = x+1 / √(x²+x+1)+x -1/2
    Or limx→+∞lim_{x→+∞}limx+ x+1 = +∞
    limx→+∞lim_{x→+∞}limx+ √(x²+x+1)+x = +∞
    limx→+∞lim_{x→+∞}limx+ -1/2 = -1/2
    donc par somme limx→+∞lim_{x→+∞}limx+ √(x²+x+1)+x -1/2 = +∞
    Or ∞/∞ est une forme indeterminée .... Je ne m'en sors pas 😞


  • N
    Modérateurs

    limx→+∞ h(x)-1/2 = x+1 / √(x²+x+1)+x -1/2
    =x(1-1/x) / x(√(1+1/x+1/x²) + 1) - 1/2
    qui tend vers
    1/2 - 1/2 = 0


  • C

    Je suis désolé mais je ne vois pas comment x(1-1/x) / x(√(1+1/x+1/x²) + 1) = 1/2 ?


  • N
    Modérateurs

    x(1-1/x) / x(√(1+1/x+1/x²) + 1)
    si tu simplifies le x cela donne
    (1-1/x) / (√(1+1/x+1/x²) + 1)
    et si x tend vers ∞, 1/x tend vers 0 et 1/x² tend vers 0
    soit
    (1-0)/[(1+0+0)+1] = 1/2


  • C

    Ah oui , très bien d'accord merci , je ne connaissais pas cette méthode !

    Est-ce que tu pourrais m'aider à factoriser g(x)=1-x²/x-1 pour la question 1) ; j'ai trouvé limx→1lim_{x→1}limx1g(x) = x²(1/x² - 1) / x(1-1/x) cependant je n'arrive pas à conclure car cela me donne limx→1lim_{x→1}limx1 x² =1
    limx→1lim_{x→1}limx1 1/x² - 1 = 0 donc par produit limx→1lim_{x→1}limx1 x²(1/x²-1) = 0 .
    limx→1lim_{x→1}limx1 x =1 et limx→1lim_{x→1}limx1 1-1/x = 0 donc par produit limx→1lim_{x→1}limx1x(1-1/x) = 0 .
    Or par quotient 0/0 est une forme indeterminée ... je tourne et retourne en rond ...


  • N
    Modérateurs

    (1-x²)/(x-1) = (1-x)(1+x)/(x-1) soit x+1 si x different de 1
    donc la limite ....


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