Trouver l'expression d'une suite en fonction de n


  • P

    Bonjour, mon problème est que je bloque totalement sur les 2 premières questions.

    Voici l'énoncé :
    Soit (Wn(W_n(Wn) la suite définie sur N pas WnW_nWn = VVV_n−Un-U_nUn.

    a) Montrer que pour tout enter naturel n, VVV{n+1}−U</em>n+1-U</em>{n+1}U</em>n+1 = (V(V(V_n−Un-U_nUn) / (V(V(Vn+1)(Un+1)(U_n+1)(Un+1)
    En déduire que pour tout entier naturel n, VVVn−Un-U_nUn > ou égale à 0 et VVV{n+1}−U</em>n+1-U</em>{n+1}U</em>n+1 < ou égale à 1/4×(V(V(V_n−Un-U_nUn)

    b) Montrer que pour tout n, VVV_n−Un-U_nUn < ou égale à (1/4)n(1/4)^n(1/4)n

    On sait que Vn+1V_{n+1}Vn+1 = (2 VnV_nVn + 1)/(Vn1)/(V_n1)/(Vn + 1)
    et que Un+1U_{n+1}Un+1 = (2 UnU_nUn + 1)/(Un1)/(U_n1)/(Un + 1)

    Merci d'avance pour votre aide.


  • mtschoon

    Bonjour,

    Pour la première partie du a) , il suffit de remplacer Vn+1V_{n+1}Vn+1 et Un+1U_{n+1}Un+1 par leurs expressions en fonction de VnV_nVn et UnU_nUn , réduire au même dénominateur , développer et simplifier le numérateur pour obtenir l'expression souhaitée.

    Pour déduire les conséquences , es-tu sûr d'avoir donné tout l'énoncé ?

    Tu n'as pas , au moins , U0U_0U0 , V0V_{0 }V0 ou autre chose ?


  • P

    Oui j'ai U0 qui est égale à 1 et V0 qui est égale à 2


  • mtschoon

    Ces éléments sont indispensables pour la suite de l'exercice !

    Tu peux justifier facilement (avec deux petite récurrences )que , pour tout n de N , (Un) et (Vn) sont à termes positifs.

    En utilisant la formule démontrée vn+1−un+1=vn−un(vn+1)(un+1)v_{n+1}-u_{n+1}=\frac{v_n-u_n}{(v_n+1)(u_n+1)}vn+1un+1=(vn+1)(un+1)vnun , tu peux justifier ainsi que (V(V(Vn+1)(Un+1)(U_n+1)(Un+1) est strictement positif donc que VVV{n+1}−Un+1-U_{n+1 }Un+1est de même signe que VVV_n−Un-U_nUn
    Avec une récurrence , tu obtiens la propriété Vn-Un > 0


  • P

    Désolé je pensais les avoir précisées. Merci çà m'aide beaucoup mais en revanche je ne vois toujours pas comment faire la suite 😕


  • mtschoon

    Si c'est la seconde conséquence qui te pose problème , tu peux prouver que pour tout n de N :
    vn≥1v_n \ge 1vn1
    un≥1u_n \ge 1un1

    d'où
    vn+1≥2v_n +1\ge 2vn+12
    un+1≥2u_n +1\ge 2un+12

    d'où
    (un+1)(vn+1)≥4(u_n +1)(v_n +1)\ge 4(un+1)(vn+1)4

    En utilsant la propriété démontrée vn+1−un+1=vn−un(un+1)(vn+1)v_{n+1}-u_{n+1}=\frac{v_n-u_n}{(u_n +1)(v_n +1)}vn+1un+1=(un+1)(vn+1)vnun , tu déduiras la propriété cherchée vn+1−un+1≤14(vn−un)v_{n+1}-u_{n+1}\le \frac{1}{4}(v_n-u_n)vn+1un+141(vnun)


  • P

    J'ai réussi grâce a votre aide :). En revanche j'ai beau chercher je ne vois pas comment faire pour le b).


  • mtschoon

    Pour le b) , tu peux faire une récurrence en utilisant la dernière propriété démontrée au a)


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