Exercice sur les suites TS

Bonjour à tous !
Je dois rendre un exercice pour demain mais à vrai dire je n'arrive même pas à démarrer ... Un coup de pouce serait donc le bien venu !

Soit $U_n$ ) la suite définie,pour tout entier naturel n,par :∑$$^n$_{i=1}$ 1/i²

Déterminer le sens de variation de la suite $U_n$ ) .
Démontrer que,pour tout entier k supérieur ou égal à 2 : 1/k² ≤ 1/k-1 - 1/k
En déduire que la suite $U_n$ ) est majorée par 2 .
Que peut-on en déduire ?

Merci à tous ceux qui passeront par là ... !

Bonjour Chaus'ette,

Cherche le signe de $U_n$ - $U_{n-1}$

Bonsoir Noemi !

Je sais qu'il va falloir que j'etudie le signe de $U_n$ - $U_{n-1}$ mais le problème c'est que je ne vois pas l'expression de $U_n$ en fonction de n ... :X

Mais
Un = 1 + 1/4 + 1/9 + ....+1/n²

Ah oui merci mais pour $U_{n-1}$ alors comment on l'écrit ?

Tu remplaces n par n-1.

Oui mais je ne comprends pas... Est-ce qu'on obtiendrait alors $U_n$ - $U_{n-1}$ = 1/4 + 1/n² - 1/64 - 1/(n+1)² ?

Non
$U_n$ = 1 + 1/4 + 1/9 + ....+1/n²
$U_{n+1}$ = 1 + 1/4 + 1/9 + ....+1/n²+1/(n+1)²
D'ou la différence
....

$U_{n+1}$ - $U_n$ = 1/(n+1)²
1 > 0 donc (n+1)² > 0 donc pour tout n entier naturel , la suite $U_n$ est croissante !

Oui

1 > 0 et (n+1)² > 0

Merci !! J'ai réfléchi à la question suivante mais je reste bloquée sur l'hérédité ... Pourrais-tu m'aider ?

Question 2, réduis au même dénominateur et compare les dénominateurs.

C'est à dire que j'ai fait :
Heredité : On suppose que si la ppté est vraie pour un entier naturel n alors elle le sera pr n+1

1/n² ≤ 1/n-1 - 1/n
1/n² ≤ 1/n(n+1)

Ensuite 1/(n+1)² ≤ 1/(n+1)-1 - 1/(n+1)
1/(n+1)² ≤ 1/n(n+1)
Et là je bloque ...

Attention :
1/n² ≤ 1/n-1 - 1/n
1/n² ≤ 1/n(n-1)

Euh oui pardon ! Faute de frappe ! Mais après ça , c'est là que je compare les dénominateurs ?

Pour la question suivante , suffira-t-il de prouver que Un≤2 ?

Ecris l'inégalité pour la somme.

∑$$^n${i=1}$ 1/k² ≤ ∑$$^n${i=1}$ (1/k-1 - 1/k)

∑$$^n${i=1}$ 1/k² ≤ ∑$$^n${i=1}$ 1/k-1 + ∑$$^n$_{i=1}$ 1/k c'est bien ça ?

Erreur de signe à la deuxième ligne.
Simplifie le deuxième membre.