Démonstration par récurrence.

Bonjour,

J'ai un exercice où je n'arrive pas à démontrer par récurrence.

Soit $U_n$ ) la suite définie par $U_1$ = 5/2 et, pour tout n>0 ; $U_{n+1}$ = $5U_n$ - 4 ) / ( $2U_n$ - 1 )

a) Démontrer par récurrence que pour tout entier n > 0, $U_n$ = 2+ 1/ $3^n$ - 1

J'ai commencé par l'initialisation : $U_1$ = 2 + 1/ $3_1$ - 1 = 5/2

Et ensuite, l'hérédité : Supposons que .... $U_n$ 2+ $1/3^n$ - 1
Montrons que ..... $U_{n+1}$ = 2 + $1/3^{n+1}$ - 1

Et après j'ai repris $U_{n+1}$ du début, et j'ai remplacé dedans $U_n$ mais je n'arrive pas à avoir ce que je veux.

Si vous pouviez m'aider, ça serait vraiment gentil.

Bonjour Sol19,

La méthode est correcte, indique tes calculs.

Bonjour Noemi,

Voici mes calculs :

Je remplace $U_n$ dans $U_{n+1}$

( 5* ( $2+1/3^n$ -1 ) - 4) / ( 2* ( $2+1/3^n$ -1) - 1 )
= ( 6 + $5/3_n$ -1 ) / ( 3 +( 2/ $3^n$ -1 )
On met tout sous le même dénominateur, et ensuite, on peut inverser.

ça donne : $6(3^n$ -1) +5 ) / ( $3(3^n$ -1) +2)

Et après je ne sais pas quoi faire. Parce que si je développe, ça donne : $18^n$ -1) / $9^n$ -1)

Quelle est l'écriture de Un ?
$2+1/3)^n$ - 1 ?
6 $em>3^n$ n'est pas égal à $18^n$
mais à $2</em>3<em>3^n$ = $2</em>3^{n+1}$

$U_n$ = 2 + $1/(3^n$ - 1 )

$U_n$ = 2 + $1/(3^n$ - 1 )