Une suite non majorée

Bonjour, j'ai du mal à resoudre un seul exercice de mon devoir de maths.. Je viens vous demandez de l'aide. Voici mon énoncé.

U est la suite définie par Uo=2 et pour tout nombre entier naturel n, Un+1=Un²/(Un-1)

a) Démontrer que la suite u est minorée par 2.
b) Déterminer le sens de variation de u.
c) Démontrer que la suite u ne peut converger vers aucun nombre réel L.
d) Démontrer, en raisonnant par l'absurde que u n'est pas majorée. En déduire la limite de la suite u.

Pour la question C, je pense qu'on peut utiliser la propriété suivante : Si une u est minorée par m et converge vers le nombre réel L, alors L> ou =m. OU si une suite u est majorée par M et converge vers le nombre réel L, alors L< ou=M. Mais je ne sais pas comment former une reponse à partir de ça. Et pouvez vous me donner une piste pour les autres questions? merci d'avance.

..?

Bonjour !

Tout d'abord, ta définition de la suite est ambigue :
est-ce $u_{n+1}$ = $u_n$ ² $u_{n-1}$ ) ou $u_{n+1}$ = $u_n$ ² $u_n$ -1) ?
Tu peux utiliser le bouton "Indice" après avoir sélectionné l'indice quand tu tapes ton message.
J'imagine que c'est la 2e version.

a) Raisonnement par récurrence. En mettant $u_n$ en facteur.

b) Il s'agit de déterminer si $u_{n+1}$ ≥ $u_n$ ou si $u_{n+1}$ ≤ $u_n$ .
Ça se fait en étudiant $u_{n+1}$ - $u_n$ ou $u$ _{n+1} $u_n$ . Au choix.

c) La propriété que tu cites ne t'avancera pas vraiment ici : tout ce qu'elle nous apprend, c'est que si le L existe, il est supérieur ou égal à 2. Mais ça ne nous dit pas s'il existe ou non.
Ici il faut utiliser le théorème qui dit que si une suite est définie par $u_{n+1}$ = $f(u_n$ ) et qu'elle a une limite finie L, alors f(L) = L.
Tu doit donc trouver f et résoudre l'équation.

d) Une fois que le c est fait, c'est logique

En effet c'est la deuxieme version.

a) Raisonnement par récurrence c'est à dire ?

b) Pour cette question, je trouve que $U_n$ +1-Un = (Un²/(Un-1))-Un = (Un² $/ U$ _n $1)-(U_n$ ² $1/U_n$ -1) = (Un²-Un² $1)/U_n$ -1 = $1/U_n$ -1 = 0/Un = 0 ?

c) comment trouver f ? :s

a) Initialisation / hérédité / conclusion ?
On part du principe que $u_n$ ≥ 2 et on en déduite que $u_{n+1}$ ≥ 2.
Tu as dû voir ce type de raisonnement au début de cette année ?

b) Un+1-Un = (Un²/(Un-1))-Un OK
= (Un²/Un-1)-(Un²-1/Un-1) PAS OK
problème au numérateur de la fraction de droite.

c) f(x) = x²/(x-1)
Quand on calcule f(un) on trouve un+1.
Et il faut résoudre f(x) = x pour trouver les valeurs éventuelles de la limite.
Ce théorème n'est pas vraiment au programme mais on l'utilise souvent en TS, tu dois l'avoir quelque part dans ton cours, ou dans d'autres exercices déjà faits.

a) Initialisation : Pour tout entier naturel n, $U_{n+1}$ =Un²/(Un-1) et $U_0$ =2
Hérédité : On considère un nombre entier naturel n pour lequel Un ≥ 2 et on montre alors que $U_{n+1}$ ≥ 2.
Conclusion : Pour tout nombre entier naturel n, $U_{n+1}$ ≥ 2
Donc la suite est minorée par 2.
Si je marque ça c'est bon?

b) je ne trouve pas ce qui ne va pas au numérateur

c) j'ai du mal a résoudre f(x), il faut remplacé x par quoi ?

a) Oui. Mais il faut montrer que Un+1 ≥ 2 !

b) $u$ _n $u_n$ -1) = $u_n$ ² - $u_n$

c) Il faut résoudre l'équation x²/(x-1) = x.
(En sachant que x ≥ 2), c'est ce qu'on a montré au a)

a) je rajoute dans hérédité que comme Uo=2, U0+1=U1=2²-2=2, U1+1=U2= 2²-2=2 .. etc ?

b) je trouve que Un+1-Un = (Un²/(Un-1))-Un = (Un²/Un-1)-(Un(Un-1))/Un-1 = (Un²/Un-1)-(Un²-Un)/Un-1 = (Un²-Un²-Un)/Un-1= -Un/(Un-1) puis je bloque ..

a) je rajoute dans hérédité que comme Uo=2, U0+1=U1=2²-2=2, U1+1=U2= 2²-2=2 .. etc ?

b) je trouve que Un+1-Un = (Un²/(Un-1))-Un = (Un²/Un-1)-(Un(Un-1))/Un-1 = (Un²/Un-1)-(Un²-Un)/Un-1 = (Un²-Un²-Un)/Un-1= -Un/(Un-1) puis je bloque ..

a) pour l'hérédité on ne raisonne pas sur un terme particulier genre u0, u1 ou u2, mais de manière générale, sur un terme inconnu $u_n$ . Sachant qu'il est ≥ 2, est-ce que le suivant, $u_{n+1}$ , est aussi ≥ 2 ?
Il faut partir de la définition $u_{n+1}$ = $u_n$ ² $u_n$ -1), mettre $u_n$ en facteur puis regarder si ce qu'on obtient est ≥ 2.

b) C'est mieux, il reste un problème de signe à (Un²-Un²-Un)
En fait tu as Un² - (Un² - Un), donc en supprimant correctement les parenthèses...

On cherche si la suite est croissante ou décroissante.
Elle est croissante ⇔ un+1 ≥ un, autrement dit si un+1 - un ≥ 0.
Est-ce que ce que la fraction que tu obtiens est positive ou négative ?
(sachant que tous les un est toujours supérieur ou égal à 2 comme on a vu au a)

a) sinon mon initialisation est bonne?
Donc pour l'heredité je pense mettre : On considère un nombre entier naturel n pour lequel Un ≥ 2 et on cherche donc à savoir si Un+1 ≥ 2 ?
un+1 = un²/(un-1) = (Un²+1)/Un = Un²×Un+1. Donc Un+1 ≥ 2 ?
c'est bon ?

b) Un+1-Un = (Un²/(Un-1))-Un = (Un²/Un-1)-(Un(Un-1))/Un-1 = (Un²/Un-1)-(Un²-Un)/Un-1 = (Un²-Un²+Un)/Un-1 = Un²-Un²+Un-Un+1 = 1.

et pour le c) j'ai du mal a développé x²/(x-1) pour trouvé x .. ?

s'il vous plait c'est pour demain.. ? :s

bonsoir , pourriez vous m'aidez et me dire si ce que je proposais hier est juste? merci d'avance