La suite ? inégalités


  • S

    Bonsoir à tous,

    J'ai une suite un=n+sin(n)n−sin(n)un=\frac{n+sin(n)}{n-sin(n)}un=nsin(n)n+sin(n) pour n > 0

    Je dois montrer que n−1n+1≤un≤n+1n−1\frac{n-1}{n+1}\leq un \leq \frac{n+1}{n-1}n+1n1unn1n+1

    J'en suis à :

    −1≤sin(n)≤1-1\leq sin(n)\leq 11sin(n)1

    n−1≤n+sin(n)≤n+1n-1\leq n+sin(n)\leq n+1n1n+sin(n)n+1

    n−1≤n−sin(n)≤n+1n-1\leq n-sin(n)\leq n+1n1nsin(n)n+1 = 1n+1≤1n−sin(n)≤1n−1\frac{1}{n+1}\leq \frac{1}{n-sin(n)}\leq \frac{1}{n-1}n+11nsin(n)1n11

    Donc :

    n−11n+1≤n+sin(n)1n−sin(n)≤n+11n−1\frac{n-1}{\frac{1}{n+1}}\leq \frac{n+sin(n)}{\frac{1}{n-sin(n)}}\leq \frac{n+1}{\frac{1}{n-1}}n+11n1nsin(n)1n+sin(n)n11n+1

    Et là je suis bloqué...si quelqu'un peut m'aiguiller sur la suite...

    En vous remerciant !

    Bonne soirée !


  • M

    Bonjour,
    n > 0 ne suffit pas : il faut n > 1 sinon le quotient (n+1)/(n-1) n'existe pas.
    Pour obtenir (n-1)/(n+1), on multiplie par 1/(n+1), on ne divise pas.


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