démonstration par récurrence "spéciale"

Bonsoir,

Voila mon exercice si "spécial"...
"On fera tout l'exercice sans utiliser la formule: 1²+2²+3²+...+n²= $n(n+1)(2n+1)2\frac{n(n+1)(2n+1)}{2}$

Pour prouver que pour tout entier non nul n, 1²+2²+3²+...+n²≤n³ , Max a fait une "jolie" démonstration par récurrence.

1 - Faire cette démonstration"

Auriez-vous une piste à me proposez, s'il vous plait

Bonsoir rider71,

Utilise le principe d'une démonstration par récurrence
....

Indique tes calculs

Bonjour,

J'ai donc réussi à prouver que P(1) est vraie car pour n=1, P(1)=1, et n³=1

Dans la deuxième étape, on suppose que P(p) est vraie
On suppose don que 1²+2²+3²+...+p²≤p³
On montre alors que P(p+1) est vraie

On montre donc que 1²+2²+3²+...+p²+(p+1)²≤(p+1)³

Et là, c'est le moment tragique de l'histoire, je suis bloqué...

Bonjour,

Un petit coup de pouce en attendant que Noemi soit là .

Il faut que tu utilises l'hypothèse de ta récurrence :

$\text{1^2+2^2+...+p^2 \le p^3$

En ajoutant $p+1)^2$ à chaque membre de cette inégalité :

$\text{1^2+2^2+...+p^2 +(p+1)^2 \le p^3+(p+1)^2$

Il te reste maintenant à démontrer que :

$\text{p^3+(p+1)^2 \le (p+1)^3$

Je comprends, mais je ne vois pas la démonstration sur laquelle il faut partir

Plusieurs façons possibles.

Par exemple ,

$\text{p^3+(p+1)^2 \le (p+1)^3 \longleftrightarrow (p+1)^3-(p+1)^2 \ge p^3$

Tu peux prouver facilement la dernière inégalité écrite en mettant (p+1)² en facteur dans le membre de gauche.

Merci énormément pour votre réponse et en fait je viens de voir qu'il y avait une dernière question qui est:

Expliquer le commentaire du professeur: "correst mais bien maladroit"

Peut-être que , maintenant que tu as fait la démonstration par récurrence comme l'énoncé te le demande , il faut que tu cherches une démonstration directe sans récurrence .

mais la démonstration directe arrivera à la formule de l'énoncé, c'est à dire:
1²+2²+3²+...+n²= $n(n+1)(2n+1)2\frac{n(n+1)(2n+1)}{2}$

Non..., il faut trouver autre chose , d'après les consignes de l'énoncé.

Je te donne une piste,

Tu peux écrire :

$12≤n21^2 \le n^2$
$22≤n22^2 \le n^2$
$32≤n23^2\le n^2$
...
...
$n2≤n2n^2 \le n^2$

Pense à ajouter membre à membre et tu auras la réponse souhaitée.

Bonne nuit !