démontrer une conjecture (suites)

Bonsoir,
Voila mon problème de démonstration:
On considère la suite u définie par U0=1 et pour tout entier naturel n,
Un+1=(1-Un)/(1+Un)
donc:
-U0=3
-U1=-0.5
-U2=3
-U3=-0.5

etc...
On peut donc conjecturer que si n est pair, alors, Un=3
Et si n est impair, alors, Un=-0.5
Mais comment le démontrer, merci d'avance

Bonjour,

Si tu connais , tu peux faire deux récurrences .

Une pour n pair , en posant n=2p avec p ∈ N
Une pour n impair , en posant n=2p+1 , avec p ∈ N

Bonjour,

Est-ce que vous pourriez juste me montrer le début de la démarche à suivre, car je bloque un peu. Merci

Je regarde de près.

Le plus simple est de calculer $U_{n+2}$ en fonction de $U_n$

$u_{n+2}=\frac{1-u_{n+1}}{1+u_{n+1}$

$un+2=1−1−un1+un1+1−un1+unu_{n+2}=\frac{1-\frac{1-u_n}{1+u_n}}{1+\frac{1-u_n}{1+u_n}}$

Après calculs et simplifications , tu dois trouver $u_{n+2}=u_n$

Pour n=0 , $u_0=3$ puis tu justifies très facilement par récurrence que pour tout n pair ( c'est à dire n=2p) : $u_{2p}=3$

Pour n=1 , U_1=-0.5 puis tu justifies très facilement par récurrence que pour tout n impair ( c'est à dire n=2p+1) : $u_{2p+1}=-0.5$

Et bien je ne sais pas pourquoi mais j'arrive à $un+2=un^{2}$

$un+2=1−1−un1+un1+1−un1+unu_{n+2}=\frac{1-\frac{1-u_n}{1+u_n}}{1+\frac{1-u_n}{1+u_n}}$

$un+2=(1+un)−(1−un)1+un(1+un)+(1−un)1+unu_{n+2}=\frac{\frac{(1+u_n)-(1-u_n)}{1+u_n}}{\frac{(1+u_n)+(1-u_n)}{1+u_n}}$

$un+2=(1+un)−(1−un)(1+un)+(1−un)u_{n+2}=\frac{(1+u_n)-(1-u_n)}{(1+u_n)+(1-u_n)}$

Il ne te reste qu'à simplifier .

Merci beaucoup

De rien.

a+