Probleme sur la récurrence

Bonsoir, je suis bloqué sur un problème concernant les suites ...
Voici l'énoncé : On sait calculer les nombres √(1 +√ 1) et √(1 + √1 +√1) (ce sont des nombres sous une même racines mais je ne sais pas le faire sur ordinateur ...) écrits respectivement avec deux et trois racines carrées. On va s'intéresser ici au nombre (√1 + √1 + √1 + √1....) (les nombres sont ici aussi sous une même racine) écrit avec une infinité de racines carrées. Pour cela on étudie la suite (Un) définie par U(0) = 2 et U(n+1) =√ (1+Un) pour tout entier naturel n.

Déterminer par le calcul le nombre obtenu lorsqu'il n'y a que deux racines, puis trois racines.
Ici je dois calculer (√1 + √1) et (√1 + √1 +√1), est ce bien cela?
Expliquer pourquoi l'équation x = √(1 + x) admet une solution positive. On note ℑ cette solution et elle est appelée le nombre d'or.
La réponse est qu'une racine carrée est toujours positive et donc que l'équation x = √(1 + x) admet une solution positive.
Montrez par récurrence que, pour tout entier naturel n, ℑ ≤ U(n+1) ≤Un ≤ 2. En déduire que la suite (Un) est convergente.
Comment je fais pour faire la récurrence?! pour l'initialisation je prends pour n = 0 mais pour l'hérédité j'y arrive pas ...
Elle est convergente car elle est décroissante et minorée par ℑ.
Montrer que, pour tout entier naturel n, 0 ≤ U(n+1_ - ℑ ≤(1/3) x (Un - ℑ )
Je crois que si je réussi a faire la récurrence de la question 3 je réussirais a faire celle ci. A part si je ne peux pas faire de récurrence....
En déduire par récurrence que, pour tout entier naturel n, 0 ≤ Un - ℑ ≤ (1/3)^n.
Quelle est la limite de la suite (Un)? On montre ainsi que ℑ = √(1 +√ 1 +√ 1 +....) (les nombres sont ici aussi sous une même racine) .
Déterminer une valeur approchée de ℑ a 10∧-10 près.
Ca je devrais y arriver ...

Merci d'avance, je reste devant l’écran !

Bonsoir Raymond_Die,

oui calcule ces expressions
Résous l'équation

La relation U(n+1) = 1 + Un est-elle correcte ?

Ah pardon je me suis trompé dans l’énoncée C'est U(n+1) = √(1+Un)

Pour la question 3, indique tes calculs pour la récurrence.

Soit P(n) la propriété selon laquelle : pour tout entier naturel n, ℑ ≤ U(n+1) ≤Un ≤ 2

Initialisation : pour n=0 ℑ = 0, U(n+1) = √3, Un = 2 et 2 = 2
Donc P(0) est vraie.

Hérédité : Supposons que la propriété P(n) soit vraie, montrons que P(n+1) est vraie également :

ℑ ≤ U(n+1) ≤Un ≤ 2
ℑ x (√1 + Un) ≤ U(n+2) ≤ Un+1 ≤ 2 x (1 + Un)
ℑ x (√1 + Un) ≤ √(1 + √3)) ≤ √(1 + Un) ≤ 2 x (1 + Un)

et la je bloque...

A partir de :
ℑ ≤ U(n+1) ≤Un ≤ 2
ajoute 1 et passe à la racine carrée.

Huuum comme cela? :

ℑ + 1 ≤ U(n+1) + 1 ≤ U(n) + 1 ≤ 2 +1
ℑ + 1 ≤ √(1+U(n)) + 1 ≤ 3 ≤ 3
ℑ + 1 ≤ √(3) + 1 ≤ 3 ≤ 3

tu prends la racine carrée de chaque terme.

Comment ça? ><

Comme ca? :

√(ℑ + 1) ≤ √(√(3) + 1) ≤√( 3) ≤√( 3)

ℑ + 1 ≤ U(n+1) + 1 ≤ U(n) + 1 ≤ 2 +1
puis
√(ℑ + 1) ≤ √(U(n+1) + 1) ≤ √(U(n) + 1) ≤ √(2 +1)

....

Ah d'accord, et donc cette inégalité montre bien que P(n+1) est vrai et donc que quelque soit n, ℑ ≤ U(n+1) ≤Un ≤ 2.
Est-ce bien cela?