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question sur égalité et fonction |
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Envoyé: 04.12.2005, 16:52
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Une étoile
enregistré depuis: oct.. 2005
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dernière visite: 27.04.06
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bonjour!
On me donne cette égalité x^2+3x+3= (x+1)^2+x+2
comment démontrer que qqsoit/x>-1, [x^2+3x+3]/[(x+1)^2] est > à 1?
après on me dit sachant que f(x) =[x-1)(x^2+3x+3)]/[(x+1)^2]
Pourquoi on peut en déduire que pr tout réel x tel que x>1, on a f(x)>x-1
?
Si vous pouvez m'aider merci de me laisser une réponse!
modifié par : madvin, 05 Déc 2005 @ 20:02
jé un pti problem ! :/
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Envoyé: 05.12.2005, 17:47
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Cosmos
enregistré depuis: oct.. 2005
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dernière visite: 02.09.07
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Salut,
On sait que x²+3x+3 = (x+1)²+x+2
donc (x²+3x+3) / (x+1)² = [ (x+1)² + x+2 ] / (x+1)² (on divise par (x+1)² donc il faut que xdiff/-1)
donc (x²+3x+3) / (x+1)² = [ (x+1)² / (x+1)² ] + [ (x+2) / (x+1)² ]
donc (x²+3x+3) / (x+1)² = 1 + [ (x+2) / (x+1)² ] (égalité 1)
Or supposons y un réél tel que y>-2 :
donc y+2 > 0
donc (y+2) / (y+1)² > 0 (on divise des 2 côtés par (y+1)² qui est un carré donc toujours positif, de plus il faut que ydiff/-1)
donc qqsoit/yapp/]-2;-1[ union/ ]-1;+inf/[ : (y+2) / (y+1)² > 0
donc puisque x>-1 on a : (x+2) / (x+1)² > 0
donc 1 + [(x+2) / (x+1)²] > 1 (on ajoute 1 des 2 côtés)
donc (x²+3x+3) / (x+1)² > 1 (car voir égalité 1)
CQFD
Pour la deuxième question :
tu as montré à la question précédente que qqsoit/x>-1, (x²+3x+3) / (x+1)² > 1
donc (x-1) * (x²+3x+3) / (x+1)² > x-1 (on multiplie des 2 côtés par x-1)
donc qqsoit/x>-1, f(x) > x-1 (voir définition de f(x))
@+
modifié par : madvin, 05 Déc 2005 @ 20:03
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Envoyé: 05.12.2005, 20:00
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Cosmos
enregistré depuis: oct.. 2005
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dernière visite: 02.09.07
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3°) Démontrer que qqsoit/x>-1, f(x) < x
Il faut étudier le signe de la fonction f(x) - x.
Je ne vois pas de manière simple pour étudier directement le signe de f(x)-x, donc l'étude de la fonction f(x) - x reste la seule solution...
Pour cela, étudie les variations de la fonction g(x) = f(x) - x et montre que qqsoit/x>-1, g(x)<0 en t'appuyant sur le tableau de variations que tu auras construit.
On aura alors f(x)-x<0
et f(x)
CQFD
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