Calculs dans le cercle trigonométrique en 1ere S

Bonjour, je bloque sur mon exercice de trigo et j'ai besoin de votre aide

1.a A partir des formules vues en classes montrer que pour tout réel t :
sin t + sin (t+2pi/3) + sin (t + 4pi/3) = 0

b. en déduire que sin (pi/9) + sin (2pi/9) = sin (5pi/9)

2.a Résoudre sur [0,2pi[ l'équation cos (3x) = -1/3, et placer les solutions sur le centre trigonométrique

b. en déduire que cos (2pi/9) est solution de l'équation 8x^3 -6x+1 = 0 et donner les autres solutions sous forme trigo.

Bonjour pietbom

Indique tes éléments de réponse et la question qui te pose problème.
1 transforme le 2 et 3 sin.

Pour la 1 je voulais faire la formule d'addition genre
sin ( a + b ) = sinacosb - sinbcosa mais le t me bloque

pour le 2 je comptais faire ssin (pi/9) + sin (2pi/9) mais sa fais sin 3pi/9

et les deux autre j'ai aucune piste

Si tu appliques sin(a+b)
sin(t+2pi/3) = sint cos (2pi/3) - sin(2pi/3) cos t = ......

sint - cost = cos 2pi/3 x sin 2pi/3

?

Bonjour,

Je regarde la première question.

Bizarre ta dernire écriture...

$4π3=2π−2π3\frac{4\pi}{3}=2\pi-\frac{2\pi}{3}$

Tu peux dire que : $[2π]\frac{4\pi}{3}=-\frac{2\pi}{3}\ [2\pi]$

Donc : $sin(t+4π3)=sin(t−2π3){sin(t+\frac{4\pi}{3})=sin(t-\frac{2\pi}{3})}$

L'espression que tu dois calculer s'écrit donc :

$\fbox{\sin t+sin(t+\frac{2\pi}{3})+sin(t-\frac{2\pi}{3})}$

Utilise les formules de ton cours sur sin(a+b) et sin(a-b) : en ajoutant , tu auras des simplifications.

Ensuite , sachant que $cos⁡2π3=−12\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}$ , , tu trouveras que la somme proposée vaut bien 0 .

Bons calculs.

mais le t me pose problème

sin t + sin (t+2pi/3) + sin (t - 2pi/3)
= sin t + sin t x cos 2pi/3 - sin 2pi/3 x cos t + sin t x cos 2pi/3 + sin 2pi/3 x cos t

Mais non...t ne pose pas problème .

Simplifie l'expression que tu as trouvé( 2 termes s'annulent...)

Ensuite , il te suffit de remplacer cos(2pi/3) par sa valeur .

sin t + sin (t+2pi/3) + sin (t - 2pi/3)
= sin t + sin t x cos 2pi/3 + sin 2pi/3 x cos t + sin t x cos 2pi/3 - sin 2pi/3 x cos t

Les signes c'est bon la ? je vois pas comment simplifié avec les t a part si c'est les t qu'il faut barrer

Regarde de près...les expressions en caractères gras.

sin t + sin (t+2pi/3) + sin (t - 2pi/3)
= sin t + sin t x cos 2pi/3**- sin 2pi/3 x cos t**+ sin t x cos 2pi/3**+ sin 2pi/3 x cos t**

Ah oui, mince !

sin t + sin (t+2pi/3) + sin (t - 2pi/3)
= sin t + sin t x cos 2pi/3 - sin 2pi/3 x cos t+ sin t x cos 2pi/3 + sin 2pi/3 x cos t
= sin t + sin t x cos 2pi/3 + sin t x cos 2pi/3

Et comme je te l'ai déjà dit , il ne te reste qu'à remplacer cos(2pi/3) par -1/2

sin t + sin (t+2pi/3) + sin (t - 2pi/3)
= sin t + sin t x cos 2pi/3 - sin 2pi/3 x cos t+ sin t x cos 2pi/3 + sin 2pi/3 x cos t
= sin t + sin t x cos 2pi/3 + sin t x cos 2pi/3
= sin t + sin t x -1/2 + sin t x - 1/2

Reste plus que les t a viré ?

Il faut le faire correctement .

Mets sint en facteur .

sin t + sin (t+2pi/3) + sin (t - 2pi/3)
= sin t + sin t x cos 2pi/3 - sin 2pi/3 x cos t+ sin t x cos 2pi/3 + sin 2pi/3 x cos t
= sin t + sin t x cos 2pi/3 + sin t x cos 2pi/3
= sin t + sin t x -1/2 + sin t x - 1/2
= t ( sin - 1/2 )

?

non...

"sin" tout seul ne veut rien dire...

$0=............\sin t \ \times\ ( 1-1/2-1/2)= \sin t \ \times \ 0 = ............$

= 0 ?

pour la b.

sin (pi/9) + sin (2pi/9) = sin (5pi/9)
sin (pi/9) + sin (2pi/9) = sin x

L'égalité sin (pi/9) + sin (2pi/9) = sin x équivaut à
sin x = sin (pi/9) + sin (2pi/9)
ou sin x = pi - (sin (pi/9) + sin (2pi/9) )

x = pi/3
ou x = 2pi/3

la méthode est bonne je pense mais je me suis gourré dans le calcul ?

Non...tu fais des confusions "trigonométriques"

Si tu avais une égalité de 2 sinus du type sinx=siny ça irait , mais ce n'est pas le cas ici.

Vu que le b) est une application de a) , utilise le a) et remplace t par une valeur "judicieuse"...

Essaie t=pi/9 si ça va , tu t'arrêtes
Sinon , essaie t=2pi/9 si ça va , tu t'arrêtes
Sinon , essaie t=5pi/9 .

Bons calculs.

sin pi/9 + sin (pi/9+2pi/3) + sin (pi/9 + 4pi/3) = 0

si c'est bon je continue

Fais le calcul des angles pour savoir si cette formule est bien celle demandée au b) :

En réduisant au même dénominateur , tu dois trouver :

$sin⁡π9+sin⁡7π9+sin⁡13π9=0\sin \frac{\pi}{9}+\sin \frac{7\pi}{9}+\sin \frac{13\pi}{9}=0$

Ensuite , transforme les deux dernières expressions pour trouver la formule souhaitée.

sin pi/9 + sin 7pi/9 + sin 13pi/9 (-pi)
sin pi/9 + sin 7pi/9 + sin 4pi/9

PS : Comment ta trouver trouver 7pi/9 et 13pi/9 sachant qu'il sont déja au meme dénominateur

$π9+2π3=π9+6π9=7π9\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi}{3}=\frac{\pi}{9}+\frac{6\pi}{9}=\frac{7\pi}{9}$

$π9+4π3=π9+12π9=13π9\frac{\pi}{9}+\frac{4\pi}{3}=\frac{\pi}{9}+\frac{12\pi}{9}=\frac{13\pi}{9}$

Ensuite , utilise des propriétés vues forcément en cours.

quand c'est même déno on peut additioner ?

sin pi/9 + sin (pi/9+7pi/9) + sin (pi/9 + 13pi/9) = 0
sin pi/9 + sin pi/9 x cos 7pi/9 - sin 7pi/9 x cos pi/9 + sin pi/9 x cos 13pi/9 - sin 13pi/9 x cos pi/9 = 0

bonne piste ?

Essaie de maîtriser ton cours .

$sin⁡13π9=sin⁡(2π−5π9)=sin⁡(−5π9)=−sin⁡5π9\sin \frac{13\pi}{9}=\sin(2\pi-\frac{5\pi}{9})=\sin(-\frac{5\pi}{9})=-\sin \frac{5\pi}{9}$

$sin⁡7π9=sin⁡(π−7π9)=sin⁡2π9\sin \frac{7\pi}{9}=\sin(\pi-\frac{7\pi}{9})=\sin \frac{2\pi}{9}$

Donc ..............

donc sin 7pi/9 = sin 2pi/9 = sin 2pi/9
= sin 7 pi /9 = sin 2pi/9 - sin 2pi/9
= sin 7 pi /9 = 0

Mais non !

tu obtiens :

$sin⁡π9+sin⁡2π9−sin⁡5π9=0\sin \frac{\pi}{9}+\sin \frac{2\pi}{9}-\sin \frac{5\pi}{9}=0$

d'ou sort le pi/9 sachant que si on passe le 2pi/9 de l'autre côté sa devient - non ?

Refais tranquillement tous les calculs car tu t'égares !

c'est -sin(5Π/9) qui faut transposer dans le membre de droite.

Ah oui en relisant tout j'ai compris mais seul défaut je comprend pas d'ou vient le pi/9 ?

La formule démontrée au a) est valable pour toute valeur réelle de t

En appliquant cette formule à t=Π/9, on trouve ( après quelques transformations ) la formule du b)

NON ...

pietbom a dû se tromper en écrivant la question...

-1/3 est pas une mesure memarquable .

Cos3x=-1/3 n'a pas de solutions "simples"

Je pense qu'il s'agit de:

$cos⁡3x=−12\cos 3x=-\frac{1}{2}$

Dans ce cas l'équation sécrit :

$cos⁡3x=cos⁡2π3\cos 3x=\cos \frac{2\pi}{3}$

Principe à utiliser ensuite :

cos a = cos b équivaut à : a=b+k(2Π) ou a=-b+k(2Π) , k ∈ Z

oui oui -1/2

cos 3x = -1/2
cos 3x = 2pi/3
cos x = -1/6

?

Tu as écrit :
Citation
cos 3x = 2pi/3
cos x = -1/6

Cela n' a pas de sens...

Relis me réponse précédente ( principe de l'égalité de deux cosinus ) et ton cours !

a oui dsl

cos=-1/6+2kpi ou cos=-1/6+2kpi , k ∈ Z

NON...

Rappel :

cos a = cos b équivaut à : a=b+k(2Π) ou a=-b+k(2Π) , k ∈ Z

cos 3x = -1/2
3x = 2pi/3
x = -1/6 ou 1/6

j'avais oublié d'enlever le cos ^^

Non.

applique le principe exactement.

j'ai appliquer il manque le +2kπ ?

oui , il manque...

Et ensuite , divise par 3 convenablement .

cos 3x = -1/2
3x = 2pi/3 + 2kpi
x = 2π/9 + 2kπ ou -2π/9 + 2kπ

est ce bon ?

Calculs dans le cercle trigonométrique en 1ere S

sin t + sin (t+2pi/3) + sin (t - 2pi/3) = sin t + sin t x cos 2pi/3 - sin 2pi/3 x cos t + sin t x cos 2pi/3 + sin 2pi/3 x cos t

sin t + sin (t+2pi/3) + sin (t - 2pi/3)
= sin t + sin t x cos 2pi/3 - sin 2pi/3 x cos t + sin t x cos 2pi/3 + sin 2pi/3 x cos t