Montrer qu'une suite est croissante

Bonjour , Je fais un exercice et je suis un peu bloqué à une question :

Soient $u_n$ , $v_n$ , $w_n$ les suites définies pour n ∈ lN par les relations

$u_0$ =0 , ∀n≥1 , $u$ n $= u$ {n-1} $1)^{n-1}$ )/n , ∀n≥0 , $v$ n $u{2n}$ et $w$ n $u{2n+1}$

A1) Calculer les quantités $(u$ _3 $u_1$ ) et ( $u$ _4 $u_2$ ) .

Ici j'ai trouver $u_1$ =1 , $u_2$ =1/2 , $u_3$ =5/6 , $u_4$ =7/12 , Donc $(u$ _3 $u_1$ )=11/6 et ( $u$ _4 $u_2$ )=25/12

A2)Soit n≥0 . Montrer que $u$ {2n+2} $u{2n}$ =(1/2n+1)-(1/2n+2) . Que peut-on en déduire sur $v$ _{n+1} $v_n$ ? Montrer que la suite $v_n$ est croissante .

Voilà ici je suis bloqué j'ai remplacer n par 0 puis par un et je retrouve comme dans la question précédente mais je ne sais pas si c'est sa qu'il faut faire . Et je ne sais pas quoi en déduire sur $v$ _{n+1} $v_n$

Merci de m'aider , l'exercice continue plus loin mais je mettrai la suite si je suis encore bloqué .

Bonjour,

Je commence à regarder tes premières réponses.

OK pour U1 , U2 , U3 , U4

Peut-être pourrais-tu recompter U3-U1 et U4-U2

mtschoon
Bonjour,

Je commence à regarder tes premières réponses.

OK pour U1 , U2 , U3 , U4

Peut-être pourrais-tu recompter U3-U1 et U4-U2

Hum oui pardon u3-u1=-1/6 et u4-u2=1/12

D'accord avec tes dernières réponses.

Pour la question A2) , tu dois faire des démonstrations générales

Calcule $U_{n+2}$ en fonction de $U_{n+1}$ , puis $U_{n+1}$ en fonction de $U_n$
Tu pourras en déduire $U_{n+2}$ en fonction de $U_n$ , d'où la différence .

Rappel :
(-1) élévé à une puissance paire vaut 1
(-1) élévé à une puissance impaire vaut -1

Après calculs , sauf erreur , tu dois trouver :

$u2n+2=u2n+1−12n+2u_{2n+2}=u_{2n+1}-\frac{1}{2n+2}$
$u2n+1=u2n+12n+1u_{2n+1}=u_{2n}+\frac{1}{2n+1}$
d'où :
$u2n+2=u2n+12n+1−12n+2u_{2n+2}=u_{2n}+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}$
puis :
$u2n+2−u2n=12n+1−12n+2u_{2n+2}-u_{2n}=\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}$

Bons calculs !

Merci beaucoup j'ai réussi a faire la calcule . Ensuite pour $v$ _{n+1} $v_n$

J'ai fait
u $em>{n+2}$ =u $em>{n+1}$ +(-1)^{n+1}$/n+2( d'après ce que j'ai fait )

u $em>{2n+2}$ =u $em>{2n+1}$ +(-1)^{2n+1}$/2n+2

u $em>{2n+1}$ =u{2n+2}$+1/2n+2

$u$ {2n+1} $- u$ {2n} $= u$ {2n+2} $1/2n+2)-u{2n}$
= (1/2n+1)-(1/2n+2)+(1/2n+2)=1/2n+1

$v$ {n+1} $u{2n+1}$
$v$ n $u{2n}$

Donc
1/2n+1=v $_{n+1}$ -v_n$

C'est sa que je dois faire ? Merci

Le début est bon , mais ensuite il y a des confusions.

Je détaille un peu

$u2n+2=u2n+1+(−1)2n+12n+2u_{2n+2}=u_{2n+1}+\frac{(-1)^{2n+1}}{2n+2}$ (***)
donc :
$u2n+2=u2n+1−12n+2u_{2n+2}=u_{2n+1}-\frac{1}{2n+2}$

$u2n+1=u2n+(−1)2n2n+1u_{2n+1}=u_{2n}+\frac{(-1)^{2n}}{2n+1}$
donc :
$u2n+1=u2n+12n+1u_{2n+1}=u_{2n}+\frac{1}{2n+1}$ (**)

Dans la formule (*) , tu remplaces $U_{2n+1}$ par l'expression ()

Tu trouves ainsi :

$u2n+2=u2n+12n+1−12n+2u_{2n+2}=u_{2n}+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}$

En transposant $U_{2n}$

$u2n+2−u2n=12n+1−12n+2u_{2n+2}-u_{2n}=\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}$

Tu peux bien sûr avoir une seule fraction :

$\fbox{u_{2n+2}-u_{2n}=\frac{1}{(2n+1)(2n+2)}}$ (*****)

Pour la suite (Vn) , tu as une erreur sur $V_{n+1}$

$v_{n+1}=u_{2(n+1)}=u_{2n+2}$
$v_n=u_{2n}$

La formule (*****) te permet d'avoir l'expression $v_{n+1}-v_n$

En cherchant son signe , tu auras le sens de variation de la suite (Vn)

Je ne vois pas comment tu as eu $U$ {2n+1} $= u$ {2n} $1)^{2n}$ /2n+1

Ensuite pour $V_{n+1}$ oui je me suis trompé donc c'est $U_{2n+2}$ Merci

Pour déterminer $u_{2n+1}$ , tu prends la formule donnée dans l'énoncé $u_n=...$ et tu remplaces n par 2n+1

C'est exactement pareil pour déterminer $u_{2n+2}$ , tu prends la formule donnée dans l'énoncé $u_n=...$ et tu remplaces n par 2n+2

Ah d'accord ! merci je vais faire les calculs !