rapport de fonctions periodiques

bonjour à tous
voila je suis encore debutant, ok je sais que cosx et sinx sont periodiques de periode 2 $p i$ car cos(x+2 $p i$ )=cosx j'aimerai savoir svp comment determiner la periode du rapport de deux fonctions periodiques exemple: f(x)=sinx÷cox+1 ou tanx qui est $p i$ .

Bonjour,

Pour faire simple , je ne réponds qu'à tes deux exemples.

Soit $f(x)=sin⁡xcos⁡xf(x)=\frac{\sin x}{\cos x}$

Tu sais que sin et cos ont pour périodes 2∏

Donc : $f(x+2π)=sin⁡(x+2π)cos⁡(x+2π=sin⁡xcos⁡x=f(x)f(x+2\pi)=\frac{\sin (x+2\pi)}{\cos (x+2\pi}=\frac{\sin x}{\cos x}=f(x)$

2∏ est une période de f

Le but est d'avoir la plus petite période de f .
Avec les propriétés usuelles , tu cherches s'il existe une période "plus petite" qui "divise" 2∏.

Pour ∏ :

$sin⁡(x+π)=−sin⁡x\sin(x+\pi)=-\sin x$
$cos⁡(x+π)=−cos⁡x\cos(x+\pi)=-\cos x$

$f(x+π)=sin⁡(x+π)cos⁡(x+π=−sin⁡x−cos⁡x=+sin⁡xcos⁡x=f(x)f(x+\pi)=\frac{\sin (x+\pi)}{\cos (x+\pi}=\frac{-\sin x}{-\cos x}=+\frac{\sin x}{\cos x}=f(x)$

Donc ∏ convient .

Aucune propriété ne permet de réduire plus donc $\text{ t_f=\pi$

Tu redémontres ainsi que la période de la fonction Tangente est ∏

Soit $g(x)=sin⁡xcos⁡x+1g(x)=\frac{\sin x}{\cos x +1}$ ( si c'est bien de cette fonction dont tu parles )

Pour les même raisons que précédemment 2∏ est une période de g

Ici , aucune propriété ne permet de réduire plus , donc : $\text{ t_g=2\pi$

Merci mtschoon

donc en prenant f(x)= $tanx1+cosx\frac{tanx}{1+cosx}$

pour $p i$ : f(x+ $p i$ )≠ f(x)
pour 2 $p i$ : f(x+2 $p i$ )= $sin(x+2π)÷cos(x+2π)1+cos(x+2π)\frac{sin(x+2\pi )\div cos(x+2\pi )}{1+cos(x+2\pi )}$ = f(x)

donc: T=2 $p i$ ?

La période de cette troisième fonction est bien 2∏ , mais il faut faire attention à la démarche.

Dans les 2 premiers exemples , numérateur et dénominateur avaient la même période ( 2∏ ).
Le quotient f avait donc une de ses périodes valant 2∏.
Ensuite , avec les propriétés usuelles , il fallait savoir s'il y avait une période plus petite , vu que l'on cherche toujours la plus petite période T

Dans ce 3ème exemple , c'est un peu différent vu que le numérateur et le dénominateur n'ont pas la même période.
Le numérateur a pour période ∏ et le dénominateur a pour période 2∏ .

Dans ce cas , on commence par chercher le plus petit commun multiple aux 2 périodes.
Ici c'est 2∏ donc 2∏ est une période de f.

Ensuite , avec les propriétés usuelles , il faut chercher s'il existe une période "plus petite" qui "divise" 2∏.
Il n'y en pas donc T=2∏.

C'est noté merciiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii mtschoon

C'était avec plaisir !