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crouchka
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Envoyé: 29.11.2005, 19:46
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je n'arrive pas à résoudre cet exercice, j'aimerai de l'aide.
poourquoi la transformation f qui au point M(x;y) associe le point M' de coordonnées: x'= -x+2 y'= -y+4
est-elle une isométries?
merci
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flight
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Envoyé: 29.11.2005, 20:39
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Cosmos
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salut à toi!
alors voyons ! ...oui ...comment faire ....
il s'agit d'isometrie ...vu la forme de l'expression donné , on reconnait une isometrie de centre "omega " et de rapport k , le tout est de determiner dans ce cas "omega" et k ;
au départ on pose que le centre oméga a pour coordonnées
O(Xo,Yo) et soit M(x,y) et M'(x',y') ca va de soit!
puisqu'il s'agit d'isometrie de rapport k et de centre omega
on peut écrire que OM'=k.OM (vectoriellment bien sur)
soit en passant en coordonnées :
x'-Xo=k(x-Xo)
y'-Yo=k(y-Yo)
...voila...
developpons un peu ..
x'=k.x-kXo+Xo=kx+Xo(1-k)
et pareil y'=ky+Yo(1-k)
dans ton exo on a x'= -x+2 y'= -y+4
identifions un peu...
je dirai que k=-1 et 2=Xo(1-k) et ainsi Xo=1
et puis Yo(1-k)=4 et Yo=2
donc on est bien en présence d'une homothetie de centre "omega" de coodonnées (1,2) et de rapport k=-1
à noter qu'une homotethie de rapport k=-1 est une symetrie centrale
voila
a+
flight721
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Zorro
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Envoyé: 29.11.2005, 21:04
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Modératrice
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Pour moi une isométrie est une transfaormation qui conserve "les distances"
En prenant M(a;b) se transformaant en M'(a';b') et N(c;d) se transformant en N'(c';d')
il suffit de vérifier que MN = M'N'
MN =  ((c-a)^2 + (d-b)^2)
il suffit de calculer M'N' = ((c'-a')^2 + (d'-b')^2) en remplaçant a' b' c' et d' par la formule donnée on arrive en 2 lignes à démontrer que M'N' = MN donc c'est une isométrie
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Thierry
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Envoyé: 29.11.2005, 23:26
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Webmaster
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Bonsoir,
Je confirme ce que dit Zorro ; une isométrie est une transformation qui conserve les distances. crouchka je te recommande de suivre cette méthode. flight a fait une confusion isométrie/homothétie. Surtout ne pas dire qu'une homothétie est une isométrie !
A bientôt,
Thierry
Prof de math à Paris.
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crouchka
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Envoyé: 30.11.2005, 20:49
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je n'arrive toujours pas a trouver que M'N'=MN!! je ne comprend comment on pe trouvé ça avec les racines carrés!
si vous pouviez m'expliquer cela, je serai très reconnaissante!
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flight
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Envoyé: 30.11.2005, 20:54
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Cosmos
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ceci restant vrai ;
au départ on pose que le centre oméga a pour coordonnées
O(Xo,Yo) et soit M(x,y) et M'(x',y') ca va de soit!
puisqu'il s'agit d'isometrie de rapport k et de centre omega
on peut écrire que OM'=k.OM (vectoriellment bien sur)
soit en passant en coordonnées :
x'-Xo=k(x-Xo)
y'-Yo=k(y-Yo)
...voila...
developpons un peu ..
x'=k.x-kXo+Xo=kx+Xo(1-k)
et pareil y'=ky+Yo(1-k)
dans ton exo on a x'= -x+2 y'= -y+4
identifions un peu...
je dirai que k=-1 et 2=Xo(1-k) et ainsi Xo=1
et puis Yo(1-k)=4 et Yo=2
donc on est bien en présence d'une homothetie de centre "omega" de coodonnées (1,2) et de rapport k=-1
Une homothétie de rapport différent de 1 et de -1 n'est pas une isométrie alors....
flight721
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flight
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Envoyé: 30.11.2005, 21:04
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Cosmos
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L'homothétie n'est pas une isométrie sauf pour k = 1 et k = -1
or ici k=-1 donc dans ce cas isometrie = homothetie ?
non?
flight721
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Thierry
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Envoyé: 30.11.2005, 21:20
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Webmaster
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Oui flight si k=1 ou -1 l'homothétie est une isométrie.
++
Thierry
Prof de math à Paris.
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Zorro
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Envoyé: 30.11.2005, 22:04
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Modératrice
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M'N' = ((c'-a')^2 + (d'-b')^2)
avec
a'=-a+2 et c'=-c+2
b'=-b+4 et d'=-d+4
donc
(c'-a')^2 = (-c+2 -(-a+2))^2 = (-c+a)^2 = (a-c)^2 et
(d'-b')^2 = (-d+4 -(-b+4))^2 = (-d+b)^2 = (b-d)^2
donc en faisant les bons remplacements dans les formules on trouve MN = M'N'
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