Déterminer une fonction à partir d'un tableau de variation

Bonjour à tous,
alors voilà j'ai un problème dans la résolution de l'exercice suivant.

L'exercice s'intitule "Devinette ?".

1.Déterminer la fonction polynôme P qui vérifie les conditions suivantes :

P est un polynôme de degré 3
Le tableau de variation de P est le suivant :
x - $∞\infty$ -1 2 + $∞\infty$

f(x) [fonction croît] 9 [fonction décroît] -18 [fonction croît]

(j'espère avoir été clair pour le tableau)
En gros, on a : f(9) = -1 ; f(-18) = 2

2.Quelle fenêtre choisir pour contrôler vos résultats avec votre calculatrice ?

Est-ce qu'il y aurait une méthode, un système d'équation je ne sais pas afin de trouver cette fonction à partir du tableau ?

Merci d'avance

Bonjour MCkurt,

Ecris un système en utilisant pour les abscisses -1 et 2, les coordonnées des points correspondant et la dérivée.

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

Bonjour,

Piste,

Si j'ai compris les données , tu as :

f(-1)=
9
f(2)=-18
f'(-1)=0
f'(2)=0

$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ avec a≠0
$f'(x)=3ax^2+2bx+c$

Tu utilises ces données pour obtenir un système de 4 équations à 4 inconnues (a,b,c,d) à résoudre.

( Bonjour Noemi - je n'avais pas vu ta réponse lorsque j'ai écrit la mienne...)

Attention c'est
f(-1) = 9 et
f(2) = -18

(Pas de problème mtschoom)

Effectivement Noemi , c'est f(-1)=9 . Merci de l'avoir vu.

*mtschoon *.

Merci les gens mais c'est difficile un système de 4 équations à 4 inconnues ? Faut s'y prendre de la même manière qu'un système de 2 équations ?

Cela dépend du système.

Commence par écrire le système.

T'as raison donc est-ce que le système est :

$ax^3+bx^2+cx+d = 9$
$ax^3+bx^2+cx+d = -18$
$3ax^2+2bx+c = 0$
$3ax^2+2bx+c = 0$

J'ai pas l'impression que ce soit cela ...
pourriez-vous me guider svp ?

Tu as oublié de remplacer x par sa valeur
f(-1) = 9, x = -1 et y = 9
....

Ah d'accord donc ça donne :

$a(-1)^3+b(-1)^2+c(-1)+d=9$
$a2^3+b2^2+c2+d=-18$
$3a(-1)^2+2b(-1)+c=0$
$3a2^2+2b2+c=0$

c'est ça ?

Oui,

Effectue les calculs et simplifie les équations.

J'en arrive là :

-a+b-c+d=9
8a+4b+2c+d=-18
3a-2b+c=0
12a+4b+c=0

Par contre après je ne sais pas bien comment m'y prendre.

Il existe plusieurs méthodes pour résoudre un système d'équations.
Lesquelles connais tu ?

Une méthode consiste à réduire les équations pour arriver à des équations avec trois, deux puis une inconnue.

je connais la technique de la substitution après j'vois pas tellement comment on peut l'exploiter..

Soustrais l'équation (2) - l'équation (1)

c'est-à-dire je fais 8a+4b+2c+d-(-a+b-c+d) ?

Oui

8a+4b+2c+d-(-a+b-c+d) = -18 - 9
Simplifie

Et après avoir simplifié si on factorise par 3 ça donne 3a+b+c=-9 ?

Et ensuite si on fait de même avec les 2 autres équations (en factorisant par 3 aussi) ça donne 3a+2b=0 ?

J'imagine ensuite que l'on peut répéter à nouveau la technique de la substitution. Et si j'ai eu juste précédemment ça donne -b+c = -9 ?

Mais vu qu'j'ai pas encore appris comment résoudre une équation à 2 inconnues y aurait-il une autre méthode quand on en est arrivé là ?

A partir des équations
3a + b + c = -9 et
3a -2b + c = 0,
si tu soustrais les deux équations, tu trouves b.

Mais lorsque l'on fait 12a + 4b + c - ( 3a - 2b + c) = 0 il n'y a plus de c vu qu'il s'annule.
Donc ça fait 3a + 2b = 0 nan?

Ton calcul est correct, mais calcule l'équation 3 moins la relation trouvée en faisant la différence entre les équations 2 et 1.
Tu trouves ainsi b.

ah ouais ok bonne idée
donc là ça m'fait b = 3
Et donc comme ça après j'peux remplacer b dans 3a+2b=0 ?

Oui,
tu en déduis a.

Et ainsi d'suite j'ai finalement trouvé $f(x) = -2x^3+3x^2+12x+16$
serait-ce correct ?

Des erreurs de signes, b = -3
...

es-tu sûre ?

Oui

3a + b + c = -9 et
3a -2b + c = 0,
On soustrait
3b = -9, b = -3

ah oui d'accord parce que moi j'ai fait dans l'autre sens en fait :
j'ai d'abord mis 3a -2b + c

Peu importe l'ordre
-2b - b = 0-(-9)
-3b = 9, b = ...

-3 !
C'qui fait au final $2x^3 -3x^2-12x+16$ ?

Une erreur pour d, d = 2.

ah oui zut ba en tout cas merci bcp noemi et mtschoon aussi;)