Equation dans C ( nombres complexes )

Bonjour,

Voilà j'essaye de résoudre un de nos nombreux exercice que notre professeur nous a donné à faire pour le week end sur les complexes, or un type d'exos me pose problème , notre professeur nous a donné 5 exos de ce genre , mais je n'en met qu'un seul , je ferais les 4 autre toute seule ;

Résolvez dans ℂ , z² + z + 1 = 0 et déduisez-en les solutions, dans ℂ, de (z^3) -1 =0.

-> Alors pour cette question , ce qui me pose problème c'est que je ne connais pas z...de plus , je pourrais utiliser b²-4ac , ce qui donnerais Δ = z² - 4z²*1..
Et je ne vois absolument pas comment en déduire les solutions de (z^3) -1 =0 ...

On désigne par j le nombre complexe -(1/2) + i ((√3) /2 )

a) Calculez j² , j^3 , j^2006

-> Je sais calculez j² : On calcule le module et on obtient 1

1² = 1 , 1^3 = 1 , 1^2006 = 1 ( ai-je bon ? ) ( le module de j s'écrit-il $∣j∣\mid j\mid$ ou $∣−12+i32∣\mid -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\mid$ ? )

b) Calculez S = 1 + j + j² + ... + j^2006

-> Je ne sais pas du tout comment procéder...

Merci d'avance au temps que vous m'accorderez !

Bonjour,
Évidemment que tu ne connais pas z puisque c'est ce qu'on te demande de trouver.
L'inconnue est z, les coefficients de l'équation sont 1,1,1 :
1z² + 1z + 1 = 0.
Tu peux recalculer ton delta avec ces coefficients.

Ah oui d'accord ! j'ai du mal a croire que c'été aussi simple que ça !

Donc en recalculant mon delta ; b²-4ac = 1²-411 = - 3
et donc x1 = $−1−i32\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}$
x2 = $−1+i32\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$
( peut-on simplifier plus ? )
Voilà les solutions , et du coup pour z^3-1 = 0 ?

Ce que tu as appelé x2 est noté j dans l'énoncé, tu dois remarquer que x1 est le conjugué de j.

Pour l'équation z³ -1 = 0, calcule (z-1)(z²+z+1).

ah oui en effet !!

d'accord , il faut developper ?

Bien sûr.

Je dois me déconnecter. Je reviendrai plus tard.

d'accord donc :

(z-1)(z²+z+1) = z^3 + z² + z - z² -z -1 = z^3 - 1
C'est ça ? et du coup ensuite je procède comment ?

il faut que je dis que pour que z^3-1 = 0 , z doit etre égale à 1 ou à x1 et x2 c'est ça ?

z³ -1 = 0 ⇔ (z-1)(z²+z+1) = 0
Produit nul : tu trouves 3 solutions : 1 , j , et son conjugué.

Je dois me déconnecter. Je reviendrai plus tard.

d'accord je vous remercie , je planche sur la 2eme question en attendant !

la 2)a) est-elle juste ?

Je ne sais pas : quelle est ta réponse ??
Est-ce j²=1 ?
Alors c'est faux.
Développe (-1/2 +(i√3)/2)²

d'accord , je croyais qu'il fallait se servir du module..

donc j'obtient ; 1/4 - 2 * (i√3)/2 + -3/4
-2/4 - 2 * (i√3)/2 mais après je bloque , et je n'y arrive pas pour le ^3 et le ^2006...

Citation
donc j'obtient ; 1/4 - 2 * (i√3)/2 + -3/4Simplifie cela : tu devrais retomber sur x1, le conjugué de j).

$fichier math$

J'ai un probleme de signe , je ne retrouve pas x1...même en simplifiant plusieurs fois , je ne trouve pas....

$x2=j=−1+i32x_{2}= j = \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$
$doncj2=(−1+i3)24=1−2i3−34=−2−2i34=−1−i32=x1\text{donc} j^{2} = \frac{(-1+i\sqrt{3})^{2}}{4}= \frac{1-2i\sqrt{3}-3}{4}=\frac{-2-2i\sqrt{3}}{4} = \frac{-1-i\sqrt{3}}{2} = x_{1}$

Regarde mon dessin dans le plan d'Argand-Cauchy.

ah oui d'accord !

( nous n'avons jamais appris a nous servir du plan d'argand-cauchy )

donc $j^3$ = $x$ _2 $^3$ C'est ça ? Pareil pour $j^{2006}$ ? ( comment fait-on dans ce cas alors ? )

et sur quel résultat je dois tomber pour $j^3$ ?

Le plan d'Argand-Cauchy est le "plan complexe" : tu as du apprendre à placer des images de nombres complexes dans ce plan.

Pour j³, c'est très facile : l'équation z³ -1 = 0 (ou z³ = 1) admet 3 solutions : 1, j( c'est ton x2), et j² (c'est ton x1, c'est aussi le conjugué de j).
Cela veut dire que chacun de ces nombres vérifie l'équation z³ = 1.
Donc j³ = 1. C'est aussi simple que ça.

Regarde mon dessin : partant de j, pour avoir j² tu tournes de 120° dans le sens positif.
Et pour avoir j³ tu tournes à nouveau de 120° : tu retombes sur 1.

Ensuite, tu vois que tu vas revenir à $j^4$ = j, $j^5$ = j², $j^6$ = 1, etc...
A toi de voir ce que vaut $j^{2006}$ .

cela fait 1 ?

Non, car 2006 n'est pas un multiple de 3.
2006 = 3*668 + 2
Donc $j^{2006}$ = ??

Ah , c'est égale à j c'est ça ?

C'est un multiple de 2 c'est ça ? donc c'est égale a j² c'est a dire x1, c'est ça ?

La dernière question je ne sais pas comment faire...

Je sais qu'une formule connue peut m'aider je ne me souviens plus de laquelle...

( J'aurais une question par rapport aux méthode de révisions....comment doit on réviser pour les math , les fiches méthodes etc...)

Citation
Ah , c'est égale à j c'est ça ?Citation
C'est un multiple de 2 c'est ça ? donc c'est égale a j² c'est a dire x1, c'est ça ?Tes réponses sont contradictoires : est-ce j ou j² ?
2006 = 3668 + 2
Donc $j^{2006}$ = $j$ ^{3668} $em>j^2$
Mais $j^{3</em>k}$ = (j³ $^k$ =1
Donc il reste j², le bon résultat.

Pour la dernière question, calcule 1 + j + j².
Ensuite, tu remarqueras que ta somme peut se regrouper en sommes de 3 termes toutes identiques à 1 + j + j² :
1 +j + j² +j³ + $j^4$ + $j^5$ + ...
= (1 + j + j²) + (1 + j + j²) + ...
Car, comme j³ = 1, j³ + $j^4$ $j^5$ = 1 + j + j2
Et pareil pour les parenthèses suivantes.

Je me suis rendu compte après que c'été j² , j'aurais du mieux le préciser , désolé !

Donc , pour la dernière question , pour arriver a j^²006, il faut faire 669 * ( 1 + j +j²) ? ( 2006/3 = 669 )

j = x2 , j²=x1
et 1+j+j² = 1 + x2 + x1 = 1 + [(-1 + i√3 ) / 2] + [( -1-i√3)/2] = [ (2 -1 -1 + i√3 - i√3) /2] = 0

Donc ça fait 0 ?

Oui, le résultat final est 0.
Attention : il y a bien 669*(1+j+j²) mais 2006/3 ≠ 669 ( 2006 n'est pas un multiple de 3).
Il suffit de dire qu'il y a 669 parenthèses valant toutes 0.

Tu peux bien sûr procéder autrement :
Citation
Je sais qu'une formule connue peut m'aider je ne me souviens plus de laquelle...
1 +x+ x²+ .... + $x^n$ = $x^{n+1}$ - 1)/(x-1)
Donc ici : 1 + j + j² + j³ + .... + $j^{2006}$ = $j^{2007}$ - 1)/(j-1)
Et ici, $j^{2007}$ = 1 car 2007 est cette fois un multiple de 3.

Je t'avais proposé l'autre méthode car on te demandait de calculer explicitement $j^{2006}$ , mais la seconde est également très simple.

Oui en effet , mais j'ai une préférence pour la vôtre !

Merci beaucoup de m'avoir aidé !

En fait, il faut retenir 1 + j + j² = 0, et j³ = 1.
Regarde à nouveau mon dessin, tu verras que ces résultats sont géométriquement évidents.

ah oui je comprend votre plan désormais ! ( est-ce exigible au bac cette annee ? )

Je ne sais pas, j'ai quitté l'enseignement depuis plusieurs siècles.
Ce que je pense obligatoire, c'est de savoir placer des images de nombres complexes dans le plan complexe et de savoir interpréter la figure obtenue.
Exemple, multiplier un complexe par i revient à faire tourner son image de π/2 dans le sens positif.
Pour plus de renseignements, demande à Mtschoon ou à Noemi.

D'accord, merci pour votre aide et le temps que vous m'avez accordez !

De rien.
Bon courage.