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dérivée et limite |
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Envoyé: 05.02.2012, 00:46
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Une étoile
enregistré depuis: oct.. 2011
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dernière visite: 09.03.12
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A. Soit f :x -> ![\sqrt[3]{8+x}- \sqrt[3]{8-x}](http://www.mathforu.com/cgi-bin/mimetex.cgi?\sqrt[3]{8+x}- \sqrt[3]{8-x} "\sqrt[3]{8+x}- \sqrt[3]{8-x}")
Donner son ensemble de définition puis écrire son developpement limité à l'odre 1 en 0 et en déduire un équivalent de f en 0.
B. Soit  un réel strictement positif . Quelle est la dérivée de g : x -> 
C. en déduire un équivalent en 0 de h : x -> 
D. déterminer ![\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{8+x}- \sqrt[3]{8-x}} {8^{x}-4^{x}}](http://www.mathforu.com/cgi-bin/mimetex.cgi?\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{8+x}- \sqrt[3]{8-x}} {8^{x}-4^{x}} "\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{8+x}- \sqrt[3]{8-x}} {8^{x}-4^{x}}")
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Envoyé: 06.02.2012, 16:03
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Modératrice
enregistré depuis: févr.. 2011
Messages: 2242
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dernière visite: 23.05.12
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Bonjour,
Quelques indications,
S'il s'agit bien de racine cubique , l'ensemble de définition esr R
(S'il s'agit de puissance 1/3 , l'ensemble de définition est ]-8,8[)
A) =(8+x)^{\frac{1}{3}}-(8-x)^{\frac{1}{3}} "f(x)=(8+x)^{\frac{1}{3}}-(8-x)^{\frac{1}{3}}")
=\frac{1}{3}(8+x)^{-\frac{2}{3}}+\frac{1}{3}(8-x)^{-\frac{2}{3}} "f'(x)=\frac{1}{3}(8+x)^{-\frac{2}{3}}+\frac{1}{3}(8-x)^{-\frac{2}{3}}")
=0 "f(0)=0")
=\frac{1}{6} "f'(0)=\frac{1}{6}")
En appliquant ton cours : Réponse 
B) Tu écris et tu dérives
C)=8^x-4^x "g(x)=8^x-4^x")
=(ln8).8^x-(ln4).4^x "g'(x)=(ln8).8^x-(ln4).4^x")
=0 "g(0)=0")
=ln8-ln4=ln2 "g'(0)=ln8-ln4=ln2")
En appliquant ton cours : Réponse x} "\fbox{(ln2)x}")
D) Tu utilises les 2 réponses peécédentes.
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Envoyé: 16.03.2012, 19:44
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Constellation
enregistré depuis: mars. 2012
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dernière visite: 11.05.12
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Bonsoir orlandopiaf.
Pour le A) on peut parfaitement rester dans le cadre des développements limités, c'est-à-dire ne pas dériver de fonction.
En effet
![\sqrt[3]{8+x} = 2\left( 1+\frac x8 \right)^{\frac13} = 2 \left( 1 + \frac13 \times \frac x8 \right) + x\varepsilon(x)](http://www.mathforu.com/cgi-bin/mimetex.cgi?\sqrt[3]{8+x} = 2\left( 1+\frac x8 \right)^{\frac13} = 2 \left( 1 + \frac13 \times \frac x8 \right) + x\varepsilon(x) "\sqrt[3]{8+x} = 2\left( 1+\frac x8 \right)^{\frac13} = 2 \left( 1 + \frac13 \times \frac x8 \right) + x\varepsilon(x)") .
Ainsi
![\sqrt[3]{8+x} - \sqrt[3]{8-x} = 2 \left( 1 + \frac13 \times \frac x8 - 1 - \frac13 \times \frac x8 \right) + x\varepsilon(x) = \frac x6 + x\varepsilon(x)](http://www.mathforu.com/cgi-bin/mimetex.cgi?\sqrt[3]{8+x} - \sqrt[3]{8-x} = 2 \left( 1 + \frac13 \times \frac x8 - 1 - \frac13 \times \frac x8 \right) + x\varepsilon(x) = \frac x6 + x\varepsilon(x) "\sqrt[3]{8+x} - \sqrt[3]{8-x} = 2 \left( 1 + \frac13 \times \frac x8 - 1 - \frac13 \times \frac x8 \right) + x\varepsilon(x) = \frac x6 + x\varepsilon(x)") .
amicalement,
Time flies like an arrow.
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