dérivée et limite

A. Soit f :x -> $8+x3−8−x3\sqrt[3]{8+x}- \sqrt[3]{8-x}$

Donner son ensemble de définition puis écrire son developpement limité à l'odre 1 en 0 et en déduire un équivalent de f en 0.

B. Soit $λ\lambda$ un réel strictement positif . Quelle est la dérivée de g : x -> $λx\lambda ^{x}$

C. en déduire un équivalent en 0 de h : x -> $8^{x} - 4^{x}$

D. déterminer $lim⁡x→08+x3−8−x38x−4x\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{8+x}- \sqrt[3]{8-x}} {8^{x}-4^{x}}$

Bonjour,

Quelques indications,

S'il s'agit bien de racine cubique , l'ensemble de définition esr R

(S'il s'agit de puissance 1/3 , l'ensemble de définition est ]-8,8[)

A) $f(x)=(8+x)13−(8−x)13f(x)=(8+x)^{\frac{1}{3}}-(8-x)^{\frac{1}{3}}$

$f′(x)=13(8+x)−23+13(8−x)−23f'(x)=\frac{1}{3}(8+x)^{-\frac{2}{3}}+\frac{1}{3}(8-x)^{-\frac{2}{3}}$

$f (0) = 0$
$f′(0)=16f'(0)=\frac{1}{6}$

En appliquant ton cours : Réponse $\fbox{\frac{1}{6}x}$

B) Tu écris $λx=exlnλ\lambda^x=e^{xln\lambda}$ et tu dérives

C) $g(x)=8^x-4^x$

$g'(x)=(ln8).8^x-(ln4).4^x$

$g (0) = 0$

$g^{'} (0) = l n 8 - l n 4 = l n 2$

En appliquant ton cours : Réponse $(ln2)x\fbox{(ln2)x}$

D) Tu utilises les 2 réponses peécédentes.

Bonsoir orlandopiaf.

Pour le A) on peut parfaitement rester dans le cadre des développements limités, c'est-à-dire ne pas dériver de fonction.

En effet
$8+x3=2(1+x8)13=2(1+13×x8)+xε(x)\sqrt[3]{8+x} = 2\left( 1+\frac x8 \right)^{\frac13} = 2 \left( 1 + \frac13 \times \frac x8 \right) + x\varepsilon(x)$ .
Ainsi
$8+x3−8−x3=2(1+13×x8−1−13×x8)+xε(x)=x6+xε(x)\sqrt[3]{8+x} - \sqrt[3]{8-x} = 2 \left( 1 + \frac13 \times \frac x8 - 1 - \frac13 \times \frac x8 \right) + x\varepsilon(x) = \frac x6 + x\varepsilon(x)$ .

amicalement,