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Envoyé: 25.01.2012, 17:01
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Une étoile
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Bonjour à tous,
Voilà j'ai un exercice qui porte sur les suites mais je bloque sur la question 1)b) ... Bien sur j'ai essayé de continuer en passant à la question suivante mais je crois que je fais une erreur quelque part car je ne trouve pas le bon résultat.. Pourriez vous m'aider s'il vous plaît ..?
Voici mon sujet :
On considère la suite (un)n∈N définie par u0=5 et, pour tout entier n≥1 :
un=(1+(2/n))un-1+6/n
1)
a) Calculer u1.
b) On sait que :
u2=45
u3=77
u4=117
u5=165
u6=221
u7=285
u8=357
u9=437
u10=525
u11=621
A partir de ces données, conjecturer la nature de la suite (dn)n∈N définie par dn=un+1-un.
2) On considère la suite arithmétique (vn)n∈N de raison 8 et de premier terme v0=16.
Justifier que la somme des n premiers termes de cette suite est égale à 4n²+12n.
3) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n on a : un=4n²+12n+5.
4) Valider la conjecture émise à la question 1)b).
En ce qui concerne mes recherches et réponses (fausses du coup..) ça me donne ça :
1)a) u1=21
1)b) Pour déterminer la nature de (dn) , faut-il que je démontre que dn+1-dn est une constante ?
2) Pour cette question, étant donné que (vn) est arithmétique, et que l'on cherche le résultat de la somme des termes, il faut bien appliquer la formule : S=(nombre de termes)*(premier terme+dernier terme)/2 ?
Et si c'est le cas, est-ce que lors de l'application aux éléments donnés on obtient : (n+1)*(v0+vn)/2 ?
En faisant ce calcul, je ne retrouve pas le "4n²+12n" recherché.. Je trouve "4n²+16n+8" ... Voulez vous le détail de mon calcul ?
3) Pour la récurrence, je prend :
Pn : ∀n , un=4n²+12n+5
En ce qui concerne l'initialisation pas de problème P0 est vraie.
En revanche, pour l'hérédité, il faut bien poser cela :
Supposons que Pk est vraie. Pk+1 l'est-elle aussi ?
C'est-à-dire, si uk=4k²+12k+5 , a-t-on uk+1=4(k+1)²+12(k+1)+5 ?
Je ne vois pas comment me servir de uk pour trouver uk+1..
4) Etant donné que je ne trouve pas la 1)b) je ne peux pas prouver cette question..
Merci de pouvoir m'aider, bonne soirée à tous.
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Envoyé: 25.01.2012, 19:02
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Modératrice
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Bonsoir,
Calcule d1, d2, d3, ....
Et conjecture sur la nature de la suite.
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Envoyé: 25.01.2012, 19:13
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Ah oui, je n'y avais pas pensé ! Je vais essayer et je vois si je m'en sors.
Merci beaucoup
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Envoyé: 25.01.2012, 19:56
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Je remarque que la suite (dn) est une suite arithmétique de raison 8 et de premier terme d0=16
(vn) est également une suite arithmétique de raison 8 et de premier terme v0=16 ...
Mais je ne vois pas comment arriver a 4n²+12n, comme expliquer dans mon premier post..
Merci, bonne soirée
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Envoyé: 25.01.2012, 20:56
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Quelle relation connais tu pour la somme des termes d'une suite arithmétique ?
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Envoyé: 25.01.2012, 21:52
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S=nombre de termes*(premier terme+dernier terme)/2
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Envoyé: 25.01.2012, 22:24
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Applique celle relation.
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Envoyé: 26.01.2012, 18:21
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Bonjour,
La formule, est-ce bien (juste avant application numérique) :
(n+1)*(v0+vn)/2 ?
J'ai essayé mais je n'obtiens pas le résultat recherché..
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Envoyé: 26.01.2012, 18:28
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Je devrais trouvé 4n²+12n et je trouve 4n²+20n+16 ...
C'est pour cela que je pense qu'un de mes termes n'est pas le bon..
Merci de votre aide
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Envoyé: 26.01.2012, 22:08
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Utilise la relation :
n*(v0+v1)/2 = ....
Indique tes calculs
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Envoyé: 27.01.2012, 17:20
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Bonjour,
J'ai utilisé la relation que vous m'avez indiqué et je trouve le bon résultat, merci beaucoup !
Maintenant le problème se dresse au niveau de la récurrence..
Je pose Pn: pour tout n, un=4n²+12n+5
Pour l'initialisation, aucun souci P0 est vraie.
En revanche pour l'hérédité, j'ai essayé de supposer que Pk est vraie, et donc est-ce que Pk+1 l'est aussi, mais là c'est un échec..
Alors j'ai essayé de supposer que Pk-1 est vraie, en est-il de même pour Pk ?
C'est-à-dire, si on a uk-1=4(k-1)²+12(k-1)+5 , a-t-on uk=4k²+12k+5 ?
Et la je ne vois pas comment me servir de uk-1 pour trouver uk ...
Merci de votre aide, bonne fin de journée.
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Envoyé: 27.01.2012, 21:39
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Utilise la relation de départ.
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Envoyé: 28.01.2012, 15:26
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La relation de départ ?
C'est-à-dire un=(1+(2/n))un-1+(6/n) ?
modifié par : Julie.L, 28 Jan 2012 - 15:27
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Envoyé: 28.01.2012, 15:38
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Oui effectivement, je n'y avais pas pensé, et j'ai résolu le problème grâce à vos conseils !
Merci beaucoup de votre aide, bonne journée
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